На смерть Бенуа Мандельброта, создателя теории фракталов

Не стало математика, который открыл науке гармонию хаоса

«Черный лебедь» Насима Талеба, скандальная книга про сюрпризы экономики, посвящена «Бенуа Мандельброту, греку среди римлян». Римляне поклонялись идее порядка, греки — хтоническим божествам, обаянию бесформенной мощи, живущей по своим запредельным правилам. Именно эти правила, закономерности «эллин» Мандельброт, теоретик беспорядка, и нащупал в реальном мире, который нас окружает. На прошлой неделе его не стало — и это повод отдать ему дань уважения. Благодаря ему последние 30 лет мы смотрим на деревья и города, капусту брокколи и обвал фондового рынка другими глазами.

Фото: GettyImages/Fotobank

У каждого времени — своя научная теория, которая выбивает у здравого смысла почву из-под ног. В 70-е, когда мир уже смирился с парадоксами теории относительности и квантовой механики, фрактальная теория Мандельброта приняла у них эстафету. С подачи Мандельброта наука открыла для себя хаос. Внезапно оказалось, что беспорядок тоже подчиняется строгим законам, которые противоречат нашей интуиции. (Если на круглую сковородку с кипящим маслом насыпать железные опилки, вовсе не очевидно, что на ней сами собой вырастут шестиугольные соты, а это рядовой эффект теории хаоса.)

Что такое фракталы и почему вокруг них столько шума? Это фигуры, у которых каждая малая часть под микроскопом не уступает в сложности целому, а часто и повторяет его. Мандельброт придумал самую простую и эффектную из таких фигур: фрактал Мандельброта — решение уравнения, в котором может разобраться и школьник.

Этот фрактал можно изобразить вот так:

Главная же заслуга Мандельброта в другом: он взял на себя смелость оглядеться по сторонам и обнаружить такие структуры повсюду. Фракталы — это видимый образ процессов, где за ничтожными событиями следуют чудовищные последствия. «Враг вступает в город, пленных не щадя, оттого что в кузнице не было гвоздя». Одна песчинка заставляет осыпаться гору песка, но эффект от двух песчинок будет ровно таким же — это и есть нелинейность. А перед осыпанием из песка складывается фрактальный узор (это показали уже последователи Мандельброта — Бак, Тан и Визенфельд), и по узору можно догадаться, что будет дальше. Заменяя песчинку на доллар, получим теорию финансового кризиса в версии Талеба. Этот один доллар, не заплаченный вовремя, вызывает цепную реакцию неплатежей и коллапс кредитной системы.

Сам Мандельброт признавался, что идея фрактала выросла из детского вопроса, которым он, рядовой сотрудник IBM, задался в 60-е: как узнать длину береговой линии Британии? Можно, конечно, взять карту и измерить границу лекалом. Но уже на спутниковом снимке видны изломы и мелкие бухты, которые карта не учитывает, — а если их учесть, цифра вырастет на сотни километров. С высоты птичьего полета заметно, что в каждой бухте свои изломы и изгибы. С каждым приближением появляются новые детали, за счет которых результат все растет и растет. Образцовые фракталы — это, к примеру, ель (у которой каждая ветвь повторяет в миниатюре все дерево), снежинка, сеть кровеносных сосудов, город со своими автодорогами и миллионы других вещей, которые маячат перед глазами у каждого. Мандельброт открыл то, что всегда было у всех на виду. А такие открытия — самые сложные.

Если Эйнштейн опроверг Ньютона, то Мандельброт замахнулся на древних греков: в мире Мандельброта Земля больше не круглая. Его программный труд открывается манифестом: «Облако не шар, гора не конус, береговая линия не окружность». Рябь, неровности, изломы, трещины, пробки на дорогах и внезапные обвалы фондового рынка благодаря Мандельброту перестали считаться дефектом, досадной неприятностью, которая портит стройную картину мира. В них наконец признали движущую силу самого интересного из того, что происходит в атмосфере, толще океана, на улице или на бирже. Современной науке пробка интереснее тысячи автомобилей, которые едут из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью.

Фракталы вернули математике наглядность. С подачи Мандельброта картинки в духе психоделической живописи 60-х перекочевали на обложки математических журналов в 80-е. А из математических журналов — в массовую культуру. Клип Джонатана Коултона («Множество Мандельброта — пылающий тест Роршаха») собирает под сотню тысяч просмотров на YouTube. Мне лично знаком человек, который собирался вытатуировать этот фрактал у себя на плече,— но выяснилось, что он не будет оригинален.

За 34 года с момента открытия клякса с заусенцами незаметно превратилась в символ новой математики. Однако, что удивительно, среди чистых математиков Мандельброт всегда был белой вороной (или, если вспомнить Талеба, «черным лебедем»). Нобелевские премии по физике и экономике обошли его стороной. Но фракталы и нелинейность встряхнули все естественные науки разом: теория пригодилась в физике взрыва, химии биомолекул и медицине. Даже раковая опухоль, которая разъела поджелудочную железу Мандельброта и убила его на 86-м году жизни, — образцовый фрактал; онкологи уже давно увидели в этом факте пользу. Если разглядеть в комке раковых клеток стройную закономерность — это может быть первым шагом к победе науки над болезнью. Мандельброт, впрочем, не дожил до ощутимых результатов из этой области, но так бывает почти всегда.

Обсудить на сайте