Опровержение арифметики

В нашей научной рубрике мы постоянно ссылаемся на работы ученых, давая линки на оригинальные исследовательские статьи. Наши читатели, конечно, прочесть их не могут. Но они видят, что статья длинная, важная и в ней, возможно, встречаются непонятные математические значки. От этого в читателе крепнет уверенность, что наука знает ответы на их вопросы.

А на самом деле ученые — большие жулики, и верить им нельзя. Вот смотрите: сейчас я научно докажу вам, что сумма всех-всех целых чисел

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 ... и т. д.

— число довольно маленькое и даже, наверное, отрицательное.

Вот смотрите, какая ловкость рук.

Сперва рассмотрим другую сумму:

S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ... и т. д.

Ясно, что если единиц четное число, то сумма равна нулю, а если нечетное, то единице. Сколько бы мы ни длили эту идиотскую активность по складыванию и вычитанию единиц, мы никогда не получим ничего больше единицы и ничего меньше нуля. Запишем этот факт:

0 ≤ S1 ≤ 1

Хорошо, поехали дальше.

Возьмем теперь такую сумму:

S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 – 10 ... и т. д. Чему равна эта бесконечная сумма?

Да очень просто. Давайте ее удвоим, то есть прибавим ее к самой себе. Чтобы было проще считать, расположим их с небольшим сдвигом.

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 – 10...

   + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 – 10...

Легко видеть, что в каждой паре получается единичка, то есть результат такой:

S2 + S2 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ... = S1

2S2 = S1

S2 = 0,5 S1

Вернувшись к первому неравенству, видим, что

0 ≤ S2 ≤ 0,5

И, наконец, посчитаем нашу главную сумму. Для этого просто вычтем из нее S2.

S – S2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10...

             – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 + 10 ... =

             =    4    +    8    +    12   +   16 ...  = 4S

Нам остается решить уравнение

S – S2 = 4S

3S = – S2

S = – 1/3 S2

Возвращаясь к нашему неравенству, видим, что

–1/6 ≤ S ≤ 0

То есть сумма всех-всех натуральных чисел отрицательна, но довольно мала: минус одна шестая в самом экстремальном случае.

Покажите этот фокус своему малышу, который только-только заинтересовался математикой, и он немедленно разочаруется в своем глупом увлечении, обратившись к наркотикам и алкоголю.

А если малыш еще и английский изучает с преподавателем, пусть послушает, как этот фокус объясняют вслух два хитрых английских дяди.

Ливерпульский (?) акцент заодно отобьет у него охоту и к иностранным языкам, так что будущее вашего ребенка станет еще более предсказуемым.

Спасибо, что были с нами. Я надеюсь, мне удалось на время отвлечь вас от событий в Киеве и процесса по «Болотному делу», и вы начнете сегодняшний вечер в прекрасном настроении.