Финалисты премии «Просветитель» Николай Андреев, Сергей Коновалов, Никита Панюнин: Математическая составляющая
Объем шкурки апельсина
Вы купили апельсин и разрезали его пополам. Чего больше по объему в предоставленном на картинке апельсине — кожуры или мякоти?
Вопрос кажется странным, ведь кожура — это тонкий слой, край апельсина (будем считать, что он имеет форму шара). Оказывается, что относительно тонкий слой на границе шара имеет тот же объем, что и остальная часть. Например, у апельсина диаметром 10 см, с кожурой толщиной 1 см, почти половина всего объема — в кожуре!
Давайте проверим. Рассмотрим два шара, радиусов R и r (r < R). Каким должен быть радиус меньшего шара, чтобы его объем составлял половину объема большого?
Объем шара радиуса R равен VR=4/3 πR3. Для нахождения r запишем уравнение
Vr= VR — Vr, или 4/3 πr3 = 4/3 πR3 — 4/3 πr3.
Из него следует что R3 = 2r3, т.е.
r = R/3√2 ≈ 0,79R ≈ 4/5 R.
Таким образом, почти половина объема шара сосредоточена в слое около поверхности толщиной всего лишь 1/5 радиуса.
Поясним читателю выбор формы уравнения: VR = VR – Vr вместо естественного Vr= 2Vr.
Это сделано, чтобы напомнить одну идею, часто встречающуюся в геометрии и полезную при решении житейских задач, — фигура, для площади или объема которой нет готовой формулы, представляется как разность «известных» фигур.
Конический фужер
Как уговорить ребенка выпить злую микстуру? Можно пойти на «математическую» хитрость, и если она сработает, то в дополнение к порции лекарства ребенок получит поучительное объяснение.
Нальем микстуру в конический бокал и предложим «больному» выпить половину («средне дипломатическое» для уговаривающего и сопротивляющегося). Большинство автоматически решит, что «половина» - это половина по высоте, и… выпьет 7/8 содержимого бокала, т.е. почти все.
А чтобы выпить половину бокала, надо отпить столько, чтобы уровень жидкости понизился примерно на 1/5 высоты (точнее, на 1 — 1 /3√2). Число 3√2 нам уже встречалось, его появление здесь вызвано похожими соображениями, только формулу для объема шара заменит формула для объема конуса.
Перечисленные «подходы» к бокалу изображены на рисунках.
Несколько «практических» замечаний.
Приведенные соотношения действуют в любом конической фужере, т.к. не зависят от угла конуса.
В математике формулы, связи условий и утверждений в теоремах — часто вещи «обратимые», их можно читать-применять и в одну сторону, и в другую. Так и в нашем примере: приведенные математические соображения позволяю «разумно» обосновать желание выпить больше, чем разрешают.
Книга «Математическая составляющая», подготовленная коллективом проекта «Математические этюды», — это попытка находчиво и даже с некоторой лихостью объяснить, почему «математика — царица наук» и что это значит для каждого из нас, даже для тех, кто сохранил ненависть к ней еще со средней школы.
Математика — не только язык, на котором объясняются почти все науки. Математика — не только главный инструмент всех естественных и точных наук (да и гуманитарных в тех областях, где они хотели бы отрастить подлинно научный аппарат). Математика — это еще и инструмент постижения бытия в рамках европейского научного метода.
Серьезные ученые, собравшиеся вместе в этой книге, рассказывают, каким образом математика позволяет людям регулировать транспортные потоки, шифровать тайные тексты, рассчитывать пропорции бумажного листа формата А4 (и прочих А), изобретать светоотражающие катафоты для машин и пешеходов. Отдельная глава посвящена тому, как дробление камней в почках стало возможным только после решения математической задачи — фокусирование эллиптическим зеркалом разнонаправленных ударных волн, которые должны сойтись в точку ровно посредине камня внутри человеческого организма и именно в нем произвести наибольшее разрушение, не затронув живых тканей.
Эта книга позволяет увидеть весь окружающий мир глазами математика. Там, где другие будут видеть разрозненные элементы реальности — движущиеся по улице автомобили, игру в пятнашки, мальчишек, пинающих футбольный мяч, и их более прилежных товарищей, упражняющихся в измерении штангенциркулем, летящий по небу самолет, стеклоочистители автомобиля, — там математик видит единую ткань законов и решений, принимающую те или иные формы. Математика способна описать и предложить инструменты преобразования для почти всего на свете. Именно об этом рассказывает книга «Математическая составляющая». Иногда чрезмерно игриво, иногда чрезмерно серьезно, но в целом многообещающе.
Другие финалисты премии:
Часть статьи не может быть отображена, пожалуйста, откройте полную версию статьи.