«О пользе зонтиков». Как математика делает жизнь проще

Я помню безобидную фразу, сказанную моей подругой математиком, с которой я регулярно работал несколько лет назад. Когда мы собирались расходиться, мы решили встретиться снова через две недели, в тот же день и в то же время. Когда она достала свой ежедневник, чтобы записать встречу, я услышал, как она что-то пробормотала, больше для себя, чем для меня:

«Сейчас 20 апреля, через четырнадцать дней будет 34-го число, а значит 34 – 30 — 4 мая».

Это вызвало у меня улыбку, и я долго вспоминал об этом в метро на обратном пути. Она придумала 34 апреля, которого не существует. Такой образ мышления одновременно такой естественный и такой симптоматичный для человека, который занимается математикой! В тот же вечер я наугад задал вопрос нескольким друзьям математикам: «Какое будет число через четырнадцать дней?» и обнаружил, что все они рассуждают по-разному. Через десять дней, говорили они, будет 30 апреля, значит через одиннадцать дней будет 1 мая, а через четырнадцать — 4. Смена апреля на май нарушила правила арифметики, сделав 1 преемником 30, и, по-видимому, вынудив их шагнуть за пределы математики, чтобы сменить месяцы. Поскольку естественный рост чисел был прерван, надо было прервать и естественный ход мышления. И, должен признаться, вероятно, именно так я бы рассуждал сам, если бы мне задали этот вопрос.

Мою подругу, напротив, эти преграды не остановили. Судя по ее словам, ей ни горячо, ни холодно от конца месяца. Раз 20+14=34, встреча будет назначена на 34 апреля. А 34 апреля равняется 4 мая, вот и все. Она придумала день, которого не существует, чтобы не нарушать течение своих мыслей. И это абсолютно ей не помешало прийти к правильному решению!

Это еще одно удивительное достоинство математики: можно просто думать о вещах, которых не существует. По правде говоря, в этом сама суть математики — думать о том, чего не существует. То есть об абстрактном.

Числа, очевидно, являются одним из самых ярких примеров этого достоинства. Как только мы отрываем их от реальности, которую они моделируют, они становятся чисто абстрактными понятиями. Идеей, воображаемыми объектами, которые мы используем в качестве посредников мышления. И иногда изобретать новые числа для решения новых задач так же удобно, как придумать 34 апреля в контексте календаря.

Вот как, например, возникли отрицательные числа. Не бывает расстояния «минус 11 км». По логике вещей расстояние должно быть представлено положительным числом. Тем не менее при измерении высоты точек земного шара относительно уровня моря очень удобно считать, что бездны, находящиеся ниже этого уровня, имеют отрицательную высоту. Таким образом, высота Марианской впадины, самого глубокого места на земле, составляет –11 км*. Отрицательная высота — 34 апреля для географов.

Заниматься математикой — значит изобретать идеальные миры, в которых наш разум сможет свободно перемещаться, не обращая внимания на препятствия реального мира. Этот подход, хотя и гораздо более глобальный, очень похож на тот, с помощью которого Непер переходил в мир сложения, чтобы упростить умножение. Когда вы сталкиваетесь с научной проблемой, очень действенным способом ее решить часто является следующее.

1. Придумайте математический мир и смоделируйте в нем интересующую вас проблему.
2. Решите эту проблему в этом мире.
3. Перенесите полученный результат обратно в реальный мир.

Этот универсальный метод, например, используется астрономами для понимания курса планет или прогнозирования затмений.

Такой способ решения проблем называется принципом зонтика. Если вы хотите добраться из одного места в другое в дождливую погоду и при этом не намокнуть, выполните следующие действия.

1. Откройте зонтик.
2. Дойдите до нужного вам места.
3. Закройте зонтик.

Шаги 1 и 3 противоположны друг другу, так что в конце процесса вы окажетесь в том же состоянии, что и в начале, за исключением того, что вы смогли достичь желаемой цели в конкретном мире, доступ в который вам открыл зонтик. Зонтик отрицательных чисел дает географам возможность удобно измерять высоты. Зонтик логарифмов позволяет астрономам, заваленным умножениями, проводить свои вычисления с помощью сложения. И в более общем плане зонтик абстракции открывает для всех ученых возможность войти в мир математики.

В нашем дальнейшем путешествии мы еще не раз воспользуемся зонтиком. Зонтик — это изменение точки зрения, смещение, это искусство сделать шаг в сторону, чтобы взглянуть на мир под другим углом, более подходящим и эффективным.

Продвижение вперед не всегда требует долгих и утомительных усилий. Для продвижения вперед прежде всего требуется найти правильный способ решения поставленных задач. Самые сложные ситуации могут внезапно показаться по-детски простыми, если посмотреть на них с правильной стороны. И именно в умении открыть нужный зонт в нужное время в полной мере проявляется гений великих ученых.

В XVIII веке эксцентричный писатель и путешественник Джонас Хенвей первым в Лондоне воспользовался зонтиком. Настоящим. От дождя. Это вызвало много насмешек, а также откровенную враждебность столичных извозчиков, чьи кэбы были единственным средством добраться до места сухим в дождливую погоду. Ничуть не пугаясь осуждения, Хенвей продолжал с гордостью пользоваться своим аксессуаром более тридцати лет, все чаще замечая, как его товарищи перенимают его привычку. Через несколько месяцев после его смерти в стране начали успешно продавать первые зонты.

Не стоит бояться трудностей — такова мудрость зонтиков. Давайте будем свободны от страхов, глупостей или предрассудков. Как только человек соглашается открыть над своей головой зонтик абстракции и войти в мир математики, он больше ничем не обязан реальному. Не нужно обременять себя излишними ограничениями или стереотипами. Хотите 34 апреля? Пожалуйста! Вам нужны отрицательные числа? Берите! Хотите бесконечности? Вот она!* Зачем лишать себя всех этих идей, если они не вредят организации вашего мышления или даже способствуют ему? Вы свободны!

Настолько свободны, что может закружиться голова. У математики есть нечто общее с пирожными: зачастую нелегко сделать выбор, ведь так много вариантов. Умение ориентироваться в математическом мире — это навык, требующий практики и интуиции.

Чтобы его развить, математики разработали множество навигационных инструментов, среди которых есть два компаса. Первый называется полезностью, а второй — элегантностью. Полезность приводит нас к созданию абстрактных миров, максимально приближенных к реальности, чтобы проведенные там исследования можно было бы легко перевести в знания о нашей Вселенной. Элегантность же предлагает нам полностью забыть реальный мир, с головой окунувшись в мир абстракций. Там можно сделать так много прекрасного — и чем бесполезнее это, тем оно прекраснее.

Каждый может использовать эти два компаса по своему усмотрению. Некоторые предпочитают один другому. Остальные же попеременно пользуются то тем, то этим и постоянно ищут идеальный баланс между двумя указанными ими направлениями. Но мир полон тайн, и нередко можно увидеть, как совершенно разные тропы приводят исследователей в одни и те же места. Осознание того, что природа любит работать в соответствии с изящной математикой, ошеломляет и сбивает с толку.