Все записи
05:45  /  12.04.17

4380просмотров

Гений рядом с Эйнштейном.

+T -
Поделиться:

Курт Гедель

"Kurt Gödel's achievement in modern logic is singular and monumental – indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time. ... The subject of logic has certainly completely changed its nature and possibilities with Gödel's achievement."

John von Neumann

«Достижения Курта Геделя в современной логике совершенно монументальны, - на самом деле они есть более, чем монумент, это веха на интеллектуальном ландшафте, которая останется зримой издалека… Предмет логики определенным образом изменил свою природу и возможности после открытий Геделя.»

Джон фон Нейман

Есть гении, которые так или иначе вошли в нашу массовую культуру. Люди знают их имена, хотя по большей степени и не понимают суть их достижений. Таковы Эйнштейн, Дарвин, Стивен Хокинг. Имя Курта Геделя мало известно широкой публике, хотя масштаб его интеллектуальных достижений сравним с Эйнштейном. Думаю, последний понимал это. Достаточно сказать, что на протяжении всех последних лет жизни Эйнштейна Гедель был одним из немногих его друзей, а также и постоянным его собеседником. Эйнштейн однажды признался, что ходит в свой оффис в Институте Передовых Исследований в Принстоне главным образом ради того, чтобы иметь возможность прогуляться с Геделем.

 Курт Гедель родился  28 апреля 1906 в Брно (тогда Брюнн) в Австро-Венгерской империи. Империя, погибая, распрощалась с человечеством фейерверком великих  людей, прославившихся в самых разных сферах. Далеко неполный список включает Эрвина Шредингера, Людвига Витгенштейна, Зигмунда Фрейда, Джона фон Неймана, Евгения Вигнера, Эдварда Теллера, Теодора фон Кармана, Лео Сцилларда, Райнера Мария Рильке, Карла Поппера, Стефана Цвейга, Густава Климта; устанешь перечислять.

 Гедель был судетским немцем, получившим протестанское воспитание. В отличие от многих своих современников, он оставался теистом до конца жизни, хотя и не посещал церкви. Но об этом позже.

 Высшим достижением Геделя является доказанная им в возрасте 25 лет теорема о неполноте арифметики. Это то самое монументальное достижение, о котором говорит его гениальный коллега математик Джон фон Нейман. За этим  сухим названием   скрывается интеллектуальное достижение невероятной глубины и силы.

 Теорема о неполноте была ответом Геделя на вопрос сформулированный тогдашним мэтром математики Давидом Гильбертом:  “Если у нас имеется формальная система, то достаточно ли ее аксиом для того, чтобы доказать истинность или ложность любого ее утверждения?”

 Вся суть тут в словечке “формальная”. Всему, что формально, можно научить машину. Что такое формальная система? Она  по определению включает в себя  язык, снабженный правилами грамматики и набор утверждений (аксиом), считающихся истинными.

Аксиомы есть самоочевидные утверждения, вроде того, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. На языке пишут и про все, что написано, можно спросить, истинно оно или ложно. Если  истинные утверждения можно, придерживаясь, конечно, правил грамматики,  вывести из ограниченного количества основных, то это можно делать, не вдумываясь в смысл происходящего, чисто механически. Т.е. этому можно научить компьютер. Поэтому, если ответ на вопрос Гильберта положительный, то человека -математика можно заменить машиной. А может и нет этого «человека», м.б. и он следует той же самой алгоритмической программе, а «понимание» надо взять в кавычки?

 Гедель в своем доказательстве решил обратиться к простейшей формальной системе, с которой все знакомы, к арифметике. Если с ней нельзя обращаться без понимания, то с чем-то более сложным нельзя и подавно. И вот, получилось, что нельзя. Алгоритм рухнул, а с ним и надежда построить компьютерный интеллект, который до сих пытаются построить почти сто лет после того, как Гедель доказал свою теорему. 

Строгое доказательство, данное Геделем, не так просто. Однако, сама идея довольно проста и восходит к «парадоксу лжеца», известному еще древним грекам. Гедель перевел на язык математики утверждение, утверждавшее о самом себе, что оно недоказуемо в данной формальной системе. Тупик! Если утверждение о недоказуемости доказуемо, то оно ложно…

 

 Другим достижением Геделя, совершенно пока недооцененным, является доказательство того, что Общая Теория Относительности (ОТО) допускает путешествия в прошлое. Решение полученное Геделем, по видимому, не относится к нашей Вселенной, но это в данном случае не так важно. Гедель решил уравнения ОТО для случая вселенной, наполненной вращающейся пылью в присутствии отрицательного космологической постоянной, т.е. для статического мира, который, в отличие от нашего, не расширяется. В таком мире, оказывается, возможна машина времени. Это означает, что в такой вселенной время есть иллюзия. И хотя мы и не живем в таком мире, но он возможен. И если в каких то мирах время есть иллюзия, то мы не можем принимать  те свойства, которое имеет время в нашем мире, за нечто незыблемое.

 Интересно отношение Геделя к теории Дарвина. Оно было таким же, как у многих математиков. Сущность своих возражений против дарвинизма Гедель сформулировал очень кратко: “The complexity of living bodies has to be present either in the material [from which they are derived] or in the laws [of their formation]”(Сложность живого должна присутствовать или в его материале, или в законах его формирования). Иначе говоря, идея о том, что сложное может возникать из простого, ложна. Те, кто утверждают обратное, забывают о том, что для того, чтобы такой процесс пошел, он должен следовать очень сложным правилам игры. Развитие от простого к сложному требует определенного рода законов природы, о которых часто забывают, когда говорят об эволюции. Мир, в котором такое развитие возможно, должен быть организован так, чтобы такой процесс обеспечить. С некоторой гордостью могу сказать, что я пришел к тем же выводам независимо от гения.

 В математике Гедель был строгим платоником. Вот что рассказывает о нем Руди Рукер в книге «Разговоры с Геделем».

 There is one idea truly central to Gödel’s thought that we discussed at some length. This is the philosophy underlying Gödel’s credo, “I do objective mathematics.” By this, Gödel meant that mathematical entities exist independently of the activities of mathematicians, in much the same way that the stars would be there even if there were no astronomers to look at them. For Gödel, mathematics, even the mathematics of the infinite, was an essentially empirical science. According to this standpoint, which mathematicians call Platonism, we do not create the mental objects we talk about. Instead, we find them, on some higher plane that the mind sees into, by a process not unlike sense perception. 

«Следующая идея, которую мы с Геделем обсуждали подробно, составляла сущность его кредо. Он говорил: «Я занимаюсь объективной математикой». Под этим Гедель подразумевал, что математические сущности существуют независимо от математиков, в том же смысле, как звезды были бы на месте даже если б не было астрономов, которые бы их наблюдали. Для Геделя математика, даже математика бесконечного, была по существу эмпирической наукой. Согласно этой точке зрения, которую математики называют Платонизмом, мы не творим ментальные объекты, а находим их в некой высшей области, в которую заглядывает наш ум, посредством процесса сходного с чувственным восприятием.»

 Как я уже говорил, Гедель был религиозным человеком, хотя далеким от какой бы то ни было ортодоксии. Вот краткая сумма его взглядов на мир, данная им самим.

My philosophical viewpoint

  1. The world is rational.
  2. Human reason can, in principle, be developed more highly (through certain techniques).
  3. There are systematic methods for the solution of all problems.
  4. There are other worlds and rational beings of a different and higher kind.
  5. The world in which we live is not the only one in which we shall live or have lived.
  6. There is incomparably more knowable a priori that is currently known.
  7. The development of human thought since the Renaissance is thoroughly one-dimensional.
  8. Reason in mankind will be developed in every direction.
  9. Formal rights comprise a real science.
  10. Materialism is false.
  11. The higher beings are connected to the others by analogy, not by composition.
  12. Concepts have an objective existence.
  13. There is a scientific (exact) philosophy and theology, which deals with concepts of the highest abstractness; and this is also most highly fruitful for science.
  14. Religions are, for the most part, bad—but religion is not.

 

  1. Мир построен разумно.
  2. Человек может (в принципе), следуя определенным методам,  развить свои умственные способности.
  3. Существуют систематические методы решения всех проблем.
  4. Существуют иные миры и разумные существа иного и высшего типа.
  5. Мир, в котором мы живем не является единственным миром, в котором мы жили или будем жить.
  6. Количество того, что можно познать a priori неизмеримо превосходит то, что известно в настоящий момент.
  7. Развитие человеческой мысли со времен Ренессанса было существенно одномерным.
  8. Разум человечества будет развиваться по всем направлениям.
  9. Формальные права составляют реальную науку.
  10. Материализм ложен.
  11. Высшие существа связаны с другими посредством аналогии, а не по составу.
  12.  Концепции объективны по природе.
  13.  Существуют научные (точные) философия и теология, имеющие дело с высшими абстракциями; они наиболее продуктивны для науки.
  14. Религии по большей части плохи, - религия же хороша.

 

 

Комментировать Всего 9 комментариев

Алеша, отлично ты сделал, написав эту заметку, спасибо! Прикосновение к гениям всегда возвышает. 

В приводимом тобой кредо Гёделя ряд пунктов довольно загадочен. Например, вот этот:

7. Развитие человеческой мысли со времен Ренессанса было существенно одномерным.

Нет ли в тексте пояснений? Это из книги Руди Рукнера? (how to spell?)

Rudy Rucker from “Conversations with Gödel”, in Rudy Rucker’s "Infinity and the Mind", Princeton University Press, 1995.

Эту реплику поддерживают: Алексей Буров

Леша, мне кажется ты несколько снизил интонацию фон Неймана, я бы предложил такой, примерно, более  очевидный вариант: indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time : на самом деле , это больше, чем монумент, это веха, которая будет всегда издалека видна в пространстве и времени.

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik, Светлана Кузнецова

Кстати, Миша, заметь одну вещь: среди того, что Гедель называет философией мы найдем многое, что, согласно твоим предыдущим утверждениям, к ней не принадлежит!

Конечно, Леша,  Гедель , как и многие , как и ты, использует слово "философия" как синоним слова "теория " или "идеология". Но философия это, как минимум, попытка ответить на вопрос "как возможна любая теория и любая  идеология". 

Миша, я человек маленький, но Гедель занимался философией специально и то, что считает возможным такое обращение с этим термином указывает на то, что я тебе всегда говорил, а именно, что ты пользуешься этим термином произвольно, намеренно ограничивая его толкование. 

Полагаю, что предложенное самореферентное "ограничение" было бы с интересом и пониманием оценено Геделем , занимавшимся проблемами самореферентности в математике.

Прошу прощения, но)

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B5,_%D0%A0%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B5%D1%80_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%8F