Все записи
18:20  /  20.08.17

1799просмотров

Почему небеса не падают

+T -
Поделиться:

Открытие  законов механики вкупе с законом всемирного тяготения поставило перед учеными проблему, решение которой заняло около 300 лет. Оказалось, и это понял уже Исаак Ньютон, что  законы эти допускают,  что планеты могут не только сойти с привычных нам орбит, но и вообще утратить всякую регулярность движения так, что их плавный небесный танец превратится в хаотическую толкучку. Проблема возникает потому, что планет много. Будь Земля  единственной планетой в нашей системе, проблемы б не было.  Самому Ньютону проблема представлялась настолько серьезной, что он предположил, что сам Господь должен время от времени вмешиваться в движение планет, дабы предотвратить катастрофу. То, что никакого заметного изменения земной орбиты не происходило в течение как минимум трех-четырех миллиардов лет должно быть особенно ясно для нас теперь, ибо такое изменение было бы смертельно для жизни, развитие которой заняло именно этот период времени. Случись такая катастрофа, цепочка развития от микроорганизмов до человека определенно бы прервалась.

Замечу, что наличие в природе регулярных  процессов таких, как смены дня и ночи, времен года, приливов и отливов, периодическая смена картины звездного неба и т.д. и подтолкнуло человеческий ум к идее законов природы. Но, как я уже сказал, с первых шагов новой европейской науки, ясно сформулировавшей концепцию рационально постигаемых законов, наличие этой регулярности предстало, как некая загадка. С одной стороны, наблюдаемая регулярность свидетельствовала о том, что есть закон. С другой стороны получалось, что если в этот закон вглядеться, он, вроде как, и не гарантирует регулярности. Парадокс?

Разрешение парадокса пришло через примерно 300 лет после того, как он был сформулирован, и пришло  в форме математической теоремы,  доказанной тремя блестящими математиками,  А. Н. Колмогоровым, В. И. Арнольдом и Ю. Мозером (КАМ теорема). Эта теорема формулирует условия, при которой движение системы взаимодействующих тел не превращается в хаос, а сохраняет черты регулярности. Теорема КАМ  дает нам неизмеримо больше, чем решение важной, но частной проблемы устойчивости планетных орбит. Фактически  ее доказательство  сделало ясным, какие черты законов природы делают возможным их познание человеком.

 

Андрей Колмогоров (1903-1987), 70-е годы

Владимир Арнольд (1937-2010) 

Юрген Мозер (1928-1999)

Однако, прежде чем начать говорить об этой теореме, я хотел бы вернуться к  проблеме устойчивости планетарных орбит, вызвавшей беспокойство как Ньютона, так и последующих поколений ученых и даже шведского короля, предложившего за ее решение большую сумму денег. Как я уже сказал, будь Земля  единственной планетой в нашей системе, проблемы б не возникло. Задачу о движении одной планеты вокруг звезды может ныне решить первокурсник; решение занимает одну страницу. Ответ таков, что в системе отсчета, связанной с их общим центром масс  и та и другая совершают периодические движения по эллиптическим орбитам; именно в центре масс находится по фокусу каждого эллипса, и периоды обращения равны. Все стабильно повторяется. Хотя в нашей солнечной системе планеты и находятся довольно далеко друг от друга так, что силы их взаимного притяжения много меньше силы притяжения между каждой из них и Солнцем, за миллионы или даже миллиарды лет эти слабые влияния вполне могут дестабилизировать орбиты, подобно тому, как даже слабый ребенок может раскачать тяжелые качели, будь он достаточно упорен.  Подобная же логика резонансов приводит к заключению, что особенно опасна ситуация, когда периоды обращения планет относятся друг другу, как простые числа. Например, у Нептуна и Плутона это отношение близко к 2:3, у Юпитера и Сатурна близко к 2:5 https://ru.wikipedia.org/wiki/Устойчивость_Солнечной_системы

В этом случае и возникает резонанс, подобный используемому ребенком на качелях.  Явление это хорошо знакомо нам по опыту, вот хотя бы цитата из гоголевского «Вия»: «Класс наполнялся вдруг разноголосными жужжаниями: авдиторы выслушивали своих учеников; звонкий дискант грамматика попадал как раз в звон стекла, вставленного в маленькие окна, и стекло отвечало почти тем же звуком...» Резонанс, еще раз отметим,  повышает  восприимчивость системы к слабым возмущениям. Так идущий по мосту в ногу взвод может его обрушить, если период шага соответствует  собственной частоте колебания моста.

Что говорит нам КАМ теорема? Во первых, она делит все механические системы на несколько классов, на интегрируемые, почти интегрируемые  и неинтегрируемые или хаотические. Системы первого класса можно описать аналитически, т.е. уравнения движения можно решить и получить для них обозримые формулы. Примером интегрируемой системы является уже упомянутая система звезда-планета. Часто говорят, что вот, мол, в механике уже проблему трех тел не решишь, мол, где тут вообще знание и т. д. Это, вообще говоря, неверно. Бывают модели, где аналитически решается задача о движении сколь угодно большого количества взаимодействующих тел (автор этих строк немало потрудился, изучая именно такие системы). Все такие решения описывают ситуацию, когда движение системы можно разбить на совокупность периодических движений ее частей. В почти интегрируемых системах движения квазипериодические, т.е. части системы, хотя и не возвращаются в тоже самое положение, но отклонение за период мало и может стать заметным только по прошествии многих периодов. Солнечная планетная система является примером именно такой квазипериодической  системы, где время, нужное на существенное изменение орбит исчисляется миллиардами, или даже больше, лет. И, наконец, в хаотических системах движения не периодические, даже приблизительно. Примером такой системы является бурный (турбулентный) поток воды.

Так вот, КАМ теорема дает критерии того, когда отклонения от интегрируемости (которые, конечно же в реальной жизни всегда есть!) не приводят к сильным возмущениям и в конце концов к хаосу. Для этого нужно, чтобы периоды обращения не были слишком близки к резонансу друг с другом. Теорема дает численную оценку этому «слишком»; разумеется, его величина  зависит от масштаба отклонения от идеальной ситуации, когда система интегрируема. В случае планет этот масштаб определяется отношением силы их взаимного притяжения к силе притяжения к Солнцу. Вычисления показывают, что для даже на первый взгляд близких к резонансу пары планет (Нептун и Плутон, Юпитер и Сатурн) сила притяжения между ними не настолько велика, чтобы сбить сначала их, а потом, возможно, и их соседей с периодических орбит.

 

(Последний абзац написан А. Буровым)

Таким образом, законы небесной механики оказываются многократно удивительными. Они не только принципиально просты, но, помимо того, обеспечивают долгосрочную устойчивость движения планет, что важно для образования и развития жизни. Но и этими странными качествами не ограничивается список их свойств. Дело в том, что даже простые по форме законы движения имеют в общем случае весьма сложные решения, не выражающиеся простыми формулами. Однако, в силу еще одного таинственного совпадения, решениями уравнений небесной механики являются такие кривые, что с древнейших времен привлекали внимание интеллектуалов своей чисто математической красотой: эллипсы. Эллипсам, а также родственным им гиперболам и параболам, был посвящен один из шедевров античной математики, труд александрийца Аполлония Пергского (262-190 до н.э.) «Конические Сечения». Ирония истории состоит в том, что тот же Аполлоний предложил рассматривать движение планет посредством разложения его по круговым вращениям, эпициклам, чем веками позже воспользовался (еще один александриец) Птолемей (100-170 до н.э.); гениальный Аполлоний  даже и не подозревал, что все навороты его эпициклов эквивалентны одному эллипсу, им же блистательно описанному. Иной читатель может здесь хмыкнуть: ага, чтобы эллипс предложить, Аполлоний должен был бы стать коперниканцем, приняв гелиоцентризм. Дорогой читатель, не торопитесь хмыкать: гелиоцентрическая система была хорошо известна Аполлонию, Коперник ее позаимствовал от старшего современника Аполлония, тоже, конечно же, александрийца, Аристарха Самосского (310-230 до н.э.).

И вот как это все прикажете понимать, милостивые государи и государыни?

 

PS. Борис Цейтлин задал мне очень хороший вопрос, касающийся интегрируемых систем. Поскольку это вопрос действительно важный, то я решил включить ответ в основной текст. 

Примеры точно решамых (т.е. аналитически, на листке бумаги, где вычисление проводится от начала до конца и ответ записывается в виде обозримой формулы) математических моделей, описывающих взаимодействие сколь угодно большого количества тел, можно приводить бесконечно. Они могут быть либо дискретными, например, описывать цепочку массивных шариков, соединенных пружинками сила притяжения которых экспоненциально зависит от расстояния (цепочка Тоды), либо непрерывными, где они выражаются в виде нелинейных дифференциальных уравнений (например, уравнение Кортевега де Вриза, описывающее движение волн на мелкой воде). В квантовой механике первые такие модели были найдены Иорданом и Вигнером в 1927 г. и Гансом Бете в 1931 г. Они описывают цепочку взаимодействующих квантовых спинов. Огромный прогресс в понимании интегрируемых моделей был достигнут в 70-80е годы прошлого века, он продолжается и по сей день. В классической механике огромные достижения принадлежат школе Владимира Захарова, в квантовой физике мы многим обязаны Родни Бакстеру, Людвигу Фаддееву и его ученикам, Александру и Алексею Замолодчиковым, Александру Полякову. 

Разумеется, интегрируемые модели представляют собой идеализацию действительности, и долгое время даже среди физиков бытовало такое мнение, что малейшее отклонение от интегрируемости все ломает. Отношение переменилось после того, как многие из  систем близких к интегрируемых были осуществлены экспериментально и оказалось что, в полном соответствии с КАМ теоремой, многие их свойства не отличаются от предсказанных теорией для их идеальных прообразов.

Комментировать Всего 9 комментариев
аналитически решается задача о движении сколь угодно большого количества взаимодействующих тел

Впервые узнаю от Вас! Нельзя ли пример в виде схемы или словесного описания?

Выношу примеры в основной текст.

Для этого нужно, чтобы периоды обращения не были слишком близки к резонансу друг с другом

Алексей, по первому размышлению, чудесным было бы обратное, а именно соизмеримость периодов. Ну не бывает в природе такого, чтобы соотношение каких-то величин точь в точь описывалось рациональными числами!

Борис, отношение числа пальцев на вашей правой руке к числу пальцев на левой в точности равно единице, рациональному числу. Могу привести более экзотические примеры, вот хоть эта роза следует числам Фибоначчи. 

То, что отношения периодов некоторых планет БЛИЗКИ к отношению рациональных чисел, есть факт. Конечно, они не в точности им равны, вот КАМ теорема и дает вам оценку того, насколько ПРИ ДАННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ между планетами  вы можете приблизиться к рациональному отношению без риска свалиться в хаос.

Любопытно, спасибо. Кстати, напрашиваются аналогии с отношениями внутри коллектива - если есть сильный лидер, то отношения нормальные, если нет, то возможен раздрай в результате "резонанса" отдельных личностей.

Что вверху, то и внизу...