Все записи
03:24  /  17.05.20

806просмотров

Мыслитель, понявший математику

+T -
Поделиться:

Я уже писал в предыдущем блоге об израильском философе Марке Стейнере, умершем 6 апреля 2020 г. от коронaвируса. Имя Стейнера стоит особняком среди философской братии – он принадлежит к тем немногим, кто по-настоящему заинтересовался проблемой эффективности математики, поднятой знаменитым физиком Юджином Вигнером в известной статье.

Данный текст является также дополнением к посту Алексея Бурова.

 Ниже я даю сокращенный перевод предисловия к книге Стейнера The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem, находящейся в свободном доступе. Вот как Стейнер описывает главный аргумент своей книги. 

 « В конце 19го века физика стояла на перепутье. Ученые раздумывали над тем, как описать  невидимый мир самых малых вещей; они уже знали к тому времени, что мир атомов не подчиняется тем же законам, что и мир макроскопический. Конечно, как заметил Чарльз Пирс (Charles Pierce), мы можем строить догадки о том, как ведут себя атомы, а потом поверять по их  косвенным проявлениям в макромире. Но ведь догадок может быть бесконечное количество и, если просто полагаться на удачу, то на их проверки уйдет бесконечное время. Поэтому Пирс (как до него Джон Локк) не верил, что человеческому роду хватит ума и способностей для того, чтобы сформулировать правдоподобные гипотезы о законах строения микромира. Эволюция, утверждал Пирс, не могла наделить человеческий род способностями к познанию законов того, что не играет никакой роли в повседневной жизни. Заметим, что тут он повторил аргумент Локка, заменив «Бога» на «Эволюцию». 

 Как же в таком случае ученые докопались до законов микромира? Мой ответ: они это сделали, пользуясь математическими аналогиями. Конечно, искомые результаты получены не только с помощью аналогий и не только для законов микромира. Экспериментальная проверка играла здесь весьма важную роль, как и везде в науке. Новым было то, что на аналогии полагались все больше и больше. Хотя математические аналогии использовались и Ньютоном и Максвеллом, но в случае с микромиром было уже не на что положиться. Ученые искали математические формулировки, напоминающие по форме законы классической физики, которые они собирались дополнить, уточнить или даже заменить иными. Зачастую эти аналогии были Пифагорейскими, поскольку могли быть выражены только на языке чистой математики. 

 Даже для тех случаев, когда аналогии эти приобретали форму физических моделей (как, например, в случае с планетарной моделью атома водорода, сформулированной Бором), я постараюсь показать, что модели эти функционировали, как математические метафоры. Иными словами, из моделей была извлечена их математическая форма, которую  потом использовали по аналогии в тех областях, где поведение атомов уже не могло быть описано классической механикой. Как позже заметил Дирак, глубокое значение «принципа соответствия» Бора состояло в том, что квантовые законы должны иметь ту же математическую форму, что и классические. … Математика, таким образом, дала физикам структуру (framework) для построения догадок, касающихся законов микромира. "

 [A. Ц. Здесь Стейнер приводит пример открытия кварков, где воспользовались математической  аналогией между группой симметрии SU(2), уже давно известной в физике, и симметрией SU(3), которая оказалась симметрией сильных взаимодействий.  Я бы привел другой пример – построение модели слабых и сильных внутриядерных взаимодействий. Тут имеется явная аналогия с теорией электромагнетизма, где помимо электромагнитного поля вводятся поля Янга-Миллса, взаимодействующие с материей так же, как электромагнитное поле, но обладающие более сложной внутренней симметрией.] 

 « Есть ряд замечательных примеров, когда основой для плодотворных догадок послужили даже не структуры, а обозначения, т.е. форма уравнений, в отсутствии какой либо их интерпретации. Этот класс пифагорейских аналогий я называю «формалистскими». [А.Ц. Думаю, что лучшим примером является здесь открытие Максвеллом превращения переменного электрического поля в магнитное, сделанное исключительно на базе симметрии уравнений - Максвеллу не понравилось, что уравнения для ротора магнитного поля выглядело не совсем так, как уравнение для ротора электрического поля. Догадка оказалась правильной, Герц открыл электромагнитные волны, это открытие изменило всю нашу цивилизацию]. 

 Таким образом, в своих попытках угадать законы природы физики следовали пифагорейской стратегии: они использовали соотношения между математическими структурами и обозначениями для возведения каркаса аналогий, на  который и  нанизывались догадки. Стратегия эта оказалась успешной, что не означает, что каждая догадка, или даже большой их процент, были правильными, - такого никогда не происходит on any framework of guessing. Успешной оказалась глобальная стратегия. 

 Поскольку моя книга фокусируется на «пифагорейских» рассуждениях, может создаться впечатление, что я утверждаю, что современная физика формировалась  путем пустых математических манипуляций,  а не базировалась на экспериментальных исследованиях. Оговорюсь сразу, что считаю, что ни один из упомянутых в книге ученых не смог бы сформулировать жизнеспособных теорий без огромной экспериментальной базы и предварительного моделирования. Теория не может выжить без экспериментального подтверждения. Я утверждаю, однако, что эта эмпирическая информация обрела свою силу, лишь пройдя через математическую классификацию. Подтвердилась точка зрения  Галилея: работающий физик, формулируя предположения и гипотезы, явно или неявно  находится во власти убеждения, что  языком природы в конечном итоге является язык математики. (Разумеется, я не утверждаю, что Галилей разделял взгляды на математику,  развиваемые в настоящей книге). 

 ….

Основным утверждением данной книги является то, что, принимая во внимание природу современной математики, Пифагорейская стратегия необходимым образом является антропоцентричной. Пифагорейская стратегия открытий имеет смысл лишь тогда, когда сам ученый верит, пусть даже даже бессознательно, что человеческому роду принадлежит  особое место в мировом  порядке вещей.  

 ….

В средние века физика была и вправду антропоцентричной, поскольку она разделяла явления на небесные и земные. Широко известно, что Фрейд считал геоцентрическую систему весьма антропоцентричной, вплоть до нарциссизма. "

 [A. Ц. Далее Стейнер говорит о том, что, хотя математика и изучает структуры, не всякую структуру можно назвать математической, например, шахматы математической структурой не являются.] 

«… математики в наши дни выработали интуитивные (internal) критерии, на основании которых они решают, изучать ли  данную структуру как математическую. Двумя такими критериями являются красота и удобство.  

… 

Это, несомненно, антропоцентрические критерии. 

Полагаться на математику, чтобы угадывать законы природы, означает полагаться на человеческие критерии красоты и удобства. Это очевидным образом  антропоцентрическая стратегия и, несмотря на это, физики следуют ей с огромным успехом. 

 Я уже отметил, что сами математические обозначения, а не только их смысл,  играют существенную роль в научных открытиях. Здесь антропоцентризм проявляет себя наиболее неприкрыто. Например, многие аналогии, которыми пользовались физики, имеют синтактический характер: уравнения, до которых они догадались, просто похожи внешне на те, что у них уже были. "

 [A. Ц. Стейнер далее замечает, что ход мысли ученых, формулирующих  научные гипотезы, часто является, до смешного детским и наивным. И тем не менее эта "наивность" и "детская простота" не мешает  успеху этих гипотез!]

 « Я предлагаю в качестве эмпирической гипотезы и основного вывода этой книги утверждение о том, что наша вселенная является (или, скорее выглядит) интеллектуально приспособленной (user friendly), позволяющей человечеству делать открытия о себе.  Хотя это эмпирический вывод, требуется немалое философское усилие, чтобы вопреки попыткам провозгласить опытные данные неким недоразумением, утвердить их как имеющие место. Позвольте мне вкратце обсудить эти попытки. 

 Чтобы дезавуировать  (to explain away)  те данные, на которых основывается моя гипотеза, оппонентам необходимо найти свойство, присущее математике по ее природе, которое бы обеспечивало ее успех в отношении  описанных ниже открытий. Например, дарвинистские описания предыстории математики недостаточны для опровержения моих аргументов; напротив, они могут их подтвердить. Это ясно  демонстрируют примеры открытий, основанных  на математическом синтаксисе, на внешней форме уравнений, таких, как формулировка Дираком релятивистской квантовой механики. Наше предрасположение видеть порядок (patterns) в природе могло быть следствием естественного отбора, и легко понять, как такое свойство могло привести к поиску внешне  схожих форм в математике. Это не объясняет, однако, успех такой стратегии в физике. Использование палиндромов в древней магии тоже можно объяснить нашей склонностью к симметричным объектам, но, в отличие от науки, магия не работает. 

 Есть те, кто предпочитает кантовское объяснение математических открытий: мир нам является таким или иным, в силу  априорной структуры человеческого восприятия. Мы смотрим на Вселенную через линзы математики, о вещах в себе мы ничего не знаем. Такой ответ, однако, трудно привести в соответствие с характером современной науки, имеющей дело с объектами, находящимися за пределами нашего пространственно-временного восприятия.

 Скажу несколько слов о различии моей позиции и позиции Вигнера. 

 Вигнер говорит не об открытии, а об описании: он спрашивает, каким образом математические концепции неожиданно обнаруживаются в физических законах? Есть две проблемы в отношении этой «тайны». Во-первых, он игнорирует неудачи, те случаи, когда физики не находят соответствующих математических описаний природных явлений (таких неудач намного больше, чем успехов). Вигнер также игнорирует существование математических концептов, не нашедших применение в физике. Но более глубокая проблема с вигнеровской формулировкой состоит в том, что каждая удача в применении математических концептов  в физике выглядит у него, как локальный успех. Успех в применении теории групп в физике может, например, не иметь отношения к группе как математическому концепту. Моя формулировка избегает этиx проблем; я утверждаю, что невероятно успешной была общая стратегия, а не отдельные творческие прорывы, и что успешным было использование не тех или иных математических концептов, а всей структуры. Поскольку эта структура определена антропоцентрически, мы можем заключить, что a.) физики действовали так, будто они придерживались (по большей части, неявным образом) антропоцентрических воззрений, b.) мир действительно выглядит антропоцентрично – в том специальном смысле, что он интеллектуально доступен человеческому исследованию. 

 В той степени, в какой «натурализм» отвергает антропоцентрическую точку зрения, данная книга бросает вызов натурализму. В этом она согласна с натуральной теологией, однако, есть много точек зрения, не являющихся ни натуралистическими, ни теологическими. Поэтому я верю, что даже читатели, не интересующиеся теологией, найдут здесь интересные факты о математике и ее применении к естественным наукам. Я знаю как минимум одного читателя, который, прочтя книгу, обратился, несмотря на все мои усилия, не к теизму, а к пифагорейству. 

 В моих исследованиях я вдохновлялся взглядами  Маймонида на философию,  утверждавшего, что никакая философия, в особенности никакая религиозная философия, не может быть полной без тщательного исследования  лучших физических теорий (что намного труднее сейчас, чем в средние века!), и что изучение науки и философии может само по себе быть религиозным актом. Разумеется, я понимаю, что Маймониду, мягко говоря, не понравились бы мои «антропоцентрические» выводы, но к ним меня  привел мой философский поиск. Я  также надеюсь, что эта книга также напомнит верующим об истине Маймонида, о религиозном значении  научных занятий. 

 Кроме того я  надеюсь , что эта книга послужит развитию диалога между естественными и гуманитарными науками. Я стараюсь показать, как кропотливый разбор  того, что может представляться только лишь техническими деталями математического формализма, дает толчок к пониманию места человеческого разума в природе – основной задаче гуманитарных наук. Но это понимание также не может быть достигнуто без  навыков философского анализа – моих ли, или лучших, чем мои. "

 

PS. Я сердечно благодарен Мише Аркадьеву, взявшему на себя труд по редакции моего текста.

PPS. Миша обратил мое внимание на этот фрагмент из "Доктора Фаустуса". 

Дорогой Лёша , вот этот фрагмент из «Доктора Фаустуса» Томаса Манна , о котором я тебе говорил, и здесь прямо упоминается пифагорейство, это главка VIII , в первой четверти романа:

« Но Адриана отличала такая манера усвоения, такое личное воспроизведение наскоро схваченного, что его разговоры, хоть и мальчишески несамостоятельные, отнюдь не казались смешными. Он или, вернее, мы долго обсуждали в оживленной беседе и другую лекцию Кречмара, которая называлась «Музыка и глаз», – и тоже, несомненно, заслуживала более обширной аудитории. Как явствует из названия, наш лектор говорил в ней о своем искусстве постольку, поскольку оно обращено к зрению, или заодно и к зрению, что явствует, как он утверждал, уже из того, что музыку записывают с помощью знаков, нотного письма, которое с эпохи древних невм, этих обозначений мелодии штрихами и точками, лишь приблизительно воспроизводивших ее движение, не переставало совершенствоваться и уточняться. Примеры, приводимые Кречмаром, были весьма занимательны и даже льстили нам, ибо создавали видимость интимного общения с музыкой – так общается с живописью растирающий краски юный ученик. Он доказывал, что многие обороты музыкантского жаргона идут не от акустических, но от зрительных впечатлений, от нотных знаков; он говорил о внешнем виде записанной музыки и уверял, что знатоку достаточно взглянуть на ноты, чтобы составить себе исчерпывающее мнение о духе и достоинстве композиции. С ним, например, произошел следующий случай: как-то раз в его комнату, где на пюпитре стояла раскрытая тетрадь с неким дилетантским изделием, вошел коллега-музыкант и еще с порога крикнул: «Что это там у тебя за дерьмо, скажи на милость?» И напротив, какое наслаждение доставляет наметанному глазу оптический образ партитуры Моцарта – ясность диспозиции, прекрасное распределение инструментальных групп, остроумное варьирование четко проводимой мелодической линии. Даже глухой, воскликнул Кречмар, ровно ничего не смыслящий в звуке, не может не радоваться этому прелестному облику партитуры! «То hear with eyes belongs to love’s fine wit»[22], – цитировал он шекспировский сонет и уверял нас, что композиторы всех времен тайно вписывали в свои строки то, что предназначалось для читающего глаза, а не для уха. Если, скажем, нидерландские мастера полифонического стиля в своих головоломках строили контрапунктические отношения перекрещивающихся голосов так, чтобы один голос точно повторял другой, если читать его с конца к началу, то вряд ли это имело какое-либо касательство к чувственному звуку; он готов биться об заклад, что лишь очень немногие были способны уловить на слух подобную шутку, скорее она предназначалась для глаз коллег. Так, Орландо Лассо в «Браке в Кане Галилейской» для шести кувшинов с водой использовал шесть голосов, и зрительно это сосчитать легче, чем на слух; а в «Страстях по Иоанну» Иоахима фон Бурка «одному из слуг», тому, что дает пощечину Иисусу, композитором дана только одна нота, тогда как на «двое» в следующей фразе и на «двое с ним других» соответственно приходятся две.

Лектор привел еще множество подобных пифагорейских шуток, предназначавшихся скорее для глаза, чем для уха, к которым музыка, не считаясь с невосприимчивостью слуха, так охотно прибегала во все времена, и вдруг ошарашил нас, объявив, что по зрелом размышлении считает возможным приписать это врожденной нечувственности, более того – античувственности искусства музыки, ее тайному тяготению к аскезе. Ведь музыка и вправду самое духовное из искусств! Это видно уже из того, что форма и содержание в ней взаимопоглощаются, то есть попросту друг с другом совпадают. Говорят, что музыка «обращена к слуху», но ведь это говорится лишь условно, лишь постольку, поскольку слух, как и остальные наши чувства, опосредствующе подменяет собою несуществующий орган для восприятия чисто духовного. Возможно, прервал себя Кречмар, что таково сокровенное желание музыки: быть вовсе не слышимой, даже не видимой, даже не чувствуемой, а если б то было мыслимо, воспринимаемой уже по ту сторону чувств и разума, в сфере чисто духовной. Но, прикованная к миру чувств, она вынуждена стремиться к еще более сильной и обольщающей чувственности, – Кундри, не ведающая того, что творит, и нежными руками сладострастия обвивающая шею простодушного Парсифаля. Свое наиболее мощное чувственное воплощение она находит в оркестровой инструментальной музыке, где, обращаясь к слуху, будоражит все чувства и сливает в единый блаженный дурман упоение звуками с упоением красками и благоуханиями. Здесь она поистине кающаяся грешница под личиной волшебницы. Существует, однако, инструмент, музыкальное средство воплощения, который хоть и делает музыку слышимой, но уже наполовину нечувственной, почти абстрактной, и потому наиболее соответствующей своей духовной природе, и этот инструмент – рояль, по сути, не являющийся инструментом в ряду других, ибо он лишен инструментальной специфики. Правда, и рояль дает солисту возможность блеснуть виртуозностью исполнения, но это особый случай и, строго говоря, уже прямое злоупотребление роялем. На самом же деле рояль – непосредственный и суверенный представитель музыки как таковой, музыки в ее чистой духовности, почему и необходимо им владеть. Обучение игре на рояле не должно или лишь во вторую очередь должно стать обучением специфическому исполнительству, но прежде всего обучением самой…

– Музыке! – крикнул чей-то голос из крайне малочисленной публики, ибо оратор завяз на первом же слоге слова, которое только что произносил множество раз.

– Разумеется! – с облегчением проговорил он, глотнул воды и ушел.«

 

 

Комментировать Всего 10 комментариев

Спасибо, Алеша! Стейнер соединял в себе то, что соединяется очень редко: прекрасное знание и понимание математики и философский дар. Плодом этого и явилась та совершенно уникальная, блистательно написанная книга. То, на что мы с тобой лишь коротко указываем в своих пифагорейских выступлениях, там показано в деталях и с глубоким знанием дела.

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik

Наверное, правильнее называть Стейнера американо-израильским философом. В Израиль он переехал только в возрасте 35 лет, будучи уже вполне сформировавшимся мыслителем. 

Математика не сама по себе, а в руках физика-теоретика

Разделяя пафос статьи Вигнера, ее название я считаю неправильным.  В правильном надо было бы слово «математика» заменить выражением «теоретическая физика».  Потому что прежде чем использовать всю (загадочную) мощь математики, физик-теоретик должен ИЗОБРЕСТИ физические понятия для описания данной физической реальности. Понятия гравитации, молекулы, электромагнитного поля, кванта и т.д. – понятия не математические, а физические.

“Эволюция, утверждал Пирс, не могла наделить человеческий род способностями к познанию законов того, что не играет НИКАКОЙ РОЛИ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ. Заметим, что тут он повторил аргумент Локка, заменив «Бога» на «Эволюцию».”

Пирс и Локк, я считаю, были абсолютно правы. Важно понимать, о чьей конкретно ПОВСДНЕВНОЙ ЖИЗНИ идет речь. В повседневной жизни Фарадея явления электромагнитной индукции играли очень важную роль, он о них думал день и ночь, пока остальное человечество занималось всякой чепухой. И в повседневной жизни Максвелла молекулы (заподозренные химиками) играли подобную роль, пока человечество не подозревало, что оно чувствует запахи именно благодаря движению молекул.

Когда Пифагор (или пифагорейцы), экспериментируя со струнами, обнаружили, что язык математики может выразить свойства физической реальности, они занимались физикой, а не математикой. Не знаю, было ли это открытие существенно для создания Архимедом первой настоящей физики или важнее был повседневный торговый опыт взвешивания.

Совершенно согласен с ключевой ролью антропоцентризма, но не вижу его у греков. Мысль Протагора  «Человек - мера всех вещей», на мой взгляд, совершенно правильно фиксирует «систему отсчета» человека, но не его место в Мироздании. Такой бескрылый антропоцентризм я бы назвал антропизмом. Кажется, у собак нет цветного зрения, и значит картина мира «собакизма» была бы черно-белой.

Антропоцентризм изобретателей современной науки был несомненно библейского происхождения. И это антропоцентризм не просто с крыльями, а даже на реактивной тяге, способный двигаться в безвоздушном пространстве. Коперник, заменивший геоцентризм на гелиоцентризм, в действительности лишь укрепил антропоцентризм, показав, на что способен познавательный оптимизм библейского теиста. И то, что Всевышний подарил человеку возможность столь точного языка, как математика, - лишь часть той творческой способности, которой Творец наделил сотворенное им свое подобие.

Гена, спасибо за такой развернутый комментарий, но позволь с тобой кое в чем не согласиться.

1. Аргумент Пирса нужно понимать в контексте теории эволюции. Согласно этой теории недостаточно, чтобы электромагнетизм и спектральный анализ играли роль в жизни нескольких человек, тут нужны многие поколения людей.

2. Я думаю, Стейнер, будучи поклонником Маймонида, имел в виду именно библейский антропоцентризм. 

А он не дает точную ссылку на Пирса и Локка? Чтобы понять, насколько точно он передал их мысли. Локк-то про эволюцию не знал. А его эмпиризм был вполне здоровым (в отличие от Ф Бэкона), поскольку он о-очень уважал Ньютона. 

Все новации в жизни человечества создают одиночки. Человечество может, конечно, новацию не принять, а новатора задушить. Но, слава Богу, не каждый раз.

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik

Гена, книга в открытом доступе, цитаты на Пирса очень подробные. Я очень советую всем эту книгу прочесть, особенно тебе, как историку науки, эта книга должна быть очень интересна. 

То, что новации идут от одиночек, совершенно не противоречит теории эволюции, которая в качестве механизма предлагает редкие мутации. Однако, дело в том, что промежутки времени, которые при этом предполагаются, совершенно несовместимы с тем, что мы имеем в случае с историей науки. 

Проверил: ссылок на Локка нет. А это для меня было бы самое интересное.

Потому что взгляд Пирса(-статистика) настолько далек от реалий жизни науки, что даже скучно обсуждать:

"We now seem launched upon a boundless ocean of possibilities. We have speculations put forth by the greatest masters of physical theorizing of which we can only say that the mere testing of any one of them would occupy a large company of able mathematicians for their whole lives; and that no one such theory seems to have an antecedent probability of being true that exceeds say one chance in a million."

 one chance in a million!!!

Гена, вот Стейнер и обсуждает то, как оно происходит в науке. Про Пирса можем забыть.

В науке гипотезы выдвигает не обезьяна, шлепающая по клавиатуре.

И сама вопиющая неоднороднеость развития науки - в историческом времени и в культурно-географическом пространстве - уже говорит, что дело не в рациональной статистике, а в таинственно-иррациональной динамике. 

Гена, ты ломишься в открытую дверь. Советую тебе прочесть книгу.