Михаил Аркадьев обратил мое внимание на критику эссе Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» (“Unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences”) представленную российским когнитивистом Александром Хомяковым: Критика непостижимой эффективности математики A critique of the incomprehensible effectiveness of mathematics Александр Хомяков / Alexander Khomyakov https://academia.edu/resource/work/46931358

Я бесконечно благодарен Михаилу Аркадьеву, взявшему на себя труд по редактированию данного текста, а также Алексею Бурову за ценные замечания.

Взялся я за критику этой критики Вигнера после некоторых колебаний, поскольку, по аналогии, опасаюсь оказаться в положении человека, рискнувшего обсуждать достоинства поэзии Пушкина с теми, кто не вполне владеет русским языком и не умеет отличить ямба от хорея. Мне придется здесь говорить о математике, отдавая себе отчет, что аудитория, к которой обращался Хомяков, по-видимому, не достаточно хорошо знает математику и не вполне способна, как и, похоже, он сам, понимать смысл математических примеров. Не уверен, что справлюсь с такой задачей, но рискну.

Предвижу и другой аналогичный упрек. Вот, скажут, связался черт с младенцем, что ж ты, как Ричард Докинз, выбираешь себе не самых сильных противников, выбери борца посолиднее. Но дело в том, что Хомяков отнюдь не одинок в своем непонимании сути проблемы, обсуждаемой Вигнером. Аргументы, выдвигаемые им, мне приходилось слышать и от признанных известных философов. Проблема, обозначенная Вигнером, выходит далеко за пределы специальных наук, она обсуждалась и продолжает обсуждаться в научном и философском сообществе с момента выхода статьи (доклада) Вигнера в 1960 году. Несмотря на то, что встречаются мыслители, которые понимают, что речь здесь идет, по сути, о природе человеческого разума, о возможностях универсального познания, у многих других, включая весьма неслабых академических философов, в этом месте обнаруживается слепое пятно. Философы, не устающие повторять, что началом философии является удивление, пожимают плечами и проходят мимо того, что удивления достойно в высшей мере. Тех, кто понял Вигнера, не так много, но среди них есть первоклассные мыслители. Могу назвать недавнего Нобелевского лауреата Роджера Пенроуза, британского физика Пола Дэвиса, космолога Александра Виленкина, покойного философа математики Марка Стайнера, чья книга «Математика как философская проблема», к сожалению еще не переведена на русский язык, ныне здравствующих философов математики Марка Колывана и Робина Коллинза, а также моего друга и коллегу физика Алексея Бурова. Ссылки на их работы даны в конце этого очерка.

Начнем с того, чему собственно удивляется, вернее, предлагает удивиться нам Вигнер. Он, как и многие из тех, кто знаком с математикой и физикой, воспринимает их как независимые, или скорее, квазинезависимые дисциплины. В истории познания они достаточно сильно удалились друг от друга, каждая из них сформулировала свои отдельные правила. Тем не менее, они способны оплодотворять друг друга. Вигнер, которому принадлежат фундаментальные достижения и в математике, и в физике, размышляет над тем, как именно это взаимное оплодотворение происходит и находит ситуацию удивительной. Поскольку удивление, как известно, является началом философии, эссе Вигнера есть также приглашение к философскому размышлению.

Остановимся подробнее на различии между естественными науками и математикой. Начнем с естественных наук. Последнее слово в них принадлежит опыту. Они опираются на наблюдения, это значит, что оправданием естественнонаучных теорий является их соответствие опыту, причем как настоящему, так и будущему, поскольку хорошие теории не только систематизируют наличные знания, но, что принципиально важно, предсказывают (часто совершенно неожиданно для создателей этих теорий) то, что еще не произошло. Один из самых известных примеров такой неожиданности, вначале отрицательно воспринятой автором теории, это нестационарные решения уравнений ОТО Эйнштейна, предложенные Фридманом и Леметром.

Понятие наблюдателя является фундаментальным для современной физики, и теория должна либо установить связь между различными наблюдениями, либо между действием какого-либо агента (необязательно одушевленного) и наблюдением другого. Замечу, и это важно для последующей дискуссии, что, вопреки распространенному мнению, подразумеваемый здесь опыт никак не может считаться прерогативой касты ученых. Наука не является аутичным разговором ученых между собой хотя бы потому, что широкая публика пользуется плодами их открытий, а также может следовать и обычно следует их рекомендациям. Провал или успех научных теорий имеет последствия, мгновенно ощущаемые за пределами науки. Если ученые предсказывают, например, что будет ураган, а публика его не видит и не ощущает, если говорят, что атомная электростанция безопасна, а она взрывается, то ученый не может заявить, что публике нужно лишь протереть глаза, чтобы убедиться, что ураган был, а реактор в полном порядке.

Что касается математики, то она опирается на совершенно другие критерии. Математические теоремы не доказываются экспериментально, они доказываются исходя из системы аксиом, следуя правилам логики. Занимаясь своими проблемами, математик иногда (отнюдь не всегда) черпает вдохновение из естественных наук. Однако, силу зависимости не следует преувеличивать. Такое взаимодействие может дать лишь толчок математической мысли, которая всегда уходит в свободный поиск. В этом свободном поиске математик совершает свои открытия, доказывает теоремы о воображаемых объектах. Для математика возможным является то, что логически непротиворечиво. Для физика возможным является то, что разрешено законами природы, которые нам еще во многом неизвестны, и это совсем другой подход. Вигнера интересует тот удивительный факт, что, возвращаясь из своего свободного абстрактного поиска, математик часто, гораздо чаще, чем можно было бы ожидать, приносит естественнику то, без чего тот совершенно не может обойтись. Более того, сплошь и рядом математические открытия опережают естественные науки. Приведу лишь несколько примеров.

Возьмем историю числа. Тут все, по-видимому, началось с шага, интуитивно понятного любому, с целых чисел. Вспомним, что до появления калькуляторов (всех видов) люди считали по пальцам. Постепенно понятие числа расширялось, включив в себя дроби, отрицательные числа, наконец, были открыты числа иррациональные. Тогда числа еще не утратили своей наглядности. Что такое, например, иррациональное число "пи"?

Отношение длины круга к его диаметру. Идеальных кругов не бывает? Не беда, можно чертить все более и более совершенные круги и постепенно наш глаз не отличит реальный круг от идеального, вот вам и наглядность. Но в 16 веке Кардано открыл мнимые числа. Никакой наглядности здесь уже нет. Что такое квадратный корень из минус единицы? Каким образом себе можно вообще представить такое? Может быть это выдумка Кардано? Произвольный прием для выполнения каких-то действий (решения уравнений)? Если так, если это только произвольная выдумка, то у математиков должна быть власть произвольно же обращаться с такими объектами, хотя, заметим, этот произвол и сделал бы их бесполезными. Оказалось, однако, что произвола тут нет, и из этого странного, еще, казалось бы, средневекового открытия Кардано выросла огромная отрасль математики, в том числе прикладной – комплексный анализ. Эти открытия доставили математикам массу чисто эстетического, никак не связанного с внешним физическим миром удовольствия, но нельзя не признать удивительным, что почти через 500 лет, уже в 20 веке выяснилось, что современная, в том числе квантовая физика не может обойтись без этих воображаемых мнимых чисел. Математики, разумеется, на этом не остановились и стали задавать себе вопрос: не существуют ли еще какие-нибудь числа, кроме уже открытых действительных и мнимых? Рассуждали они примерно так. Чем отличаются мнимые числа от действительных? Для математика только тем, что при умножении само на себя мнимое число дает отрицательное действительное число. Для действительных чисел это невозможно, значит, переходя к мнимым (комплексным) мы снимаем с понятия числа это ограничение. Но нельзя ли придумать непротиворечивые математические объекты, которые бы обладали некоторыми уже известными нам свойствами чисел, а другими не обладали? Например, что если отменить аксиому коммутативности, то есть правило, что результат умножения двух чисел не зависит от порядка сомножителей? И, да, оказалось, что можно логически непротиворечиво определить числа, произведение которых меняет знак при перестановке сомножителей. Они были открыты Грассманом в конце 19 века. Почти через сто лет неожиданно оказалось, что грассмановы числа незаменимы в современной квантовой теории поля, куда они были введены российским математиком Березиным в 60х годах прошлого века. Итак, с одной стороны мы имеем чистую математику, которой можно заниматься в полном отрыве от внешнего мира, решая чисто формальные проблемы. Здесь все диктуется логической непротиворечивостью, опыт и эксперимент никакой роли не играют. С другой стороны есть внешний мир, он властно навязывает нам свои правила, которые мы не можем изменить, но которые могут изменить нас, вплоть до летального исхода в случаях катастроф. Этот безжалостный реальный мир изучают естественные науки, здесь, казалось бы, опыту и только опыту принадлежит последнее слово. Однако выясняется, что абстрактные измышления математиков, созданные в жанре высокой интеллектуальной игры, неожиданно и непредсказуемо дают нам средства для познания этой самой жесткой внешней реальности. Возвратимся к статье Вигнера. Здесь необходимо специально подчеркнуть, что он никоим образом не утверждает, что математика может решить каждую проблему, такое предположение было бы, мягко говоря, преувеличением, приписывать которое Вигнеру у нас нет никаких оснований. Вигнер удивляется вовсе не этому, а тому, что при таком разительном контрасте подходов чистая, давно никак не связанная с физическим миром математика вообще способна быть полезной для естествознания. Уже один этот факт достоин того, чтобы стать предметом изумления а, следовательно, философского размышления. На самом же деле мы имеем гораздо больше. Точность описания, которую дают математические теории в физике, почти невероятна. Без такой точности были бы невозможны все высокие технологии, на которые опирается современная цивилизация. Я предлагаю читателю поинтересоваться, например, какого рода и с какой точностью решались задачи для создания системы глобальной навигации GPS, или, скажем, для успешного прибытия последнего земного зонда-марсохода «Perseverance» на Марс. В очень облегченной форме представление об этом дает фильм «Марсианин». Добавлю, что для Вигнера удивительным являются не только отношения между математикой и физикой, этими двумя различными по методам сферами человеческого познания, но и отношения внутри самой математики. Например, он начинает свое эссе с шутливого рассказа о том, каким образом иррациональное, вполне абстрактно- геометрическое число «пи», означающее отношение длины окружности к ее диаметру, неожиданно для неспециалиста оказалось в формуле, не имеющей никакого отношения к описанию окружностей. Собственно, в этой формуле стоит даже не само "пи", а нечто гораздо более абстрактное - квадратный корень из (2"пи"). Тут важно понять, что формулу эту (распределение Гаусса) можно изучать в отрыве от всех ее физических применений, присутствие "пи" в ней есть внутренняя проблема математики, и никак не связано с внешним миром или с утверждением о Сатурне и Юпитере, «при рассматривании их в телескоп», как пишет Хомяков. Для человека с некоторым математическим образованием, здесь впрочем, нет особенного секрета, он увидит окружность, замаскированную в распределении Гаусса, но запрятана она там довольно далеко (см. Приложение). Чтобы было более понятным, о свойствах какого рода идет речь, я приведу еще один пример. Возьмем последовательность чисел 1, ¼, 1/9, 1/16, и так далее до бесконечности, где член последовательности, стоящий на n-том месте равен 1/n2. Рассмотрим бесконечную сумму этих чисел: 1+1/4 +1/9 +1/16 +1/25 + 1/49 +… +1/n2 +… = "пи"^2 /6. Мы имеем здесь простые дроби, никаких окружностей или каких бы то ни было геометрических фигур. Складываем их и получаем "пи" в квадрате деленное на 6 . Примеры подобного рода можно множить. Иррациональное число "пи" , имеющее пока еще наглядный геометрический смысл, появляется в совершенно разных и неожиданных, не имеющих, казалось бы, ничего общего с геометрией и наглядностью контекстах внутри чистой математики. Есть и другие числа, которые обладают свойством чудом выскакивать в неожиданных местах. Наиболее известными из таких чисел являются основание натуральных логарифмов e= 2,721828… и квадратный корень из минус единицы i. Как заметил Леонард Эйлер, между этими тремя замечательными числами существует чудесная связь: экспонента от i"пи" равна -1. Такого рода шутки, понятные тем, кто знает математику, рассыпаны по всей этой науке. Как же можно не удивиться тому, что не только математика, но и экспериментальная физика не могут обойтись без открытых буквально на кончике пера абстрактных иррациональных, мнимых и грассмановых чисел, этих плодов произвольного воображения? Теперь перейдем к приложениям. Я уже говорил о том, что эффективность математики проявляется в том, что, пользуясь ею, можно с огромной точностью делать расчеты для различных практических задач. Но еще более удивительно то, что знание математики дает физику особый и ничем не заменимый инструмент для быстрой интуитивной формулировки новых математических моделей реальных процессов. Почему речь здесь идет именно об особой интуиции? Сталкиваясь с незнакомым явлением, физик оказывается на распутье, в точке выбора возможных описаний, точке, через которую проходит буквально бесконечное количество дорог. Это значит, что из конечного количества наблюдений можно извлечь бесконечное количество теорий. Но лишь весьма немногие из них оказываются продуктивными, т.е. способными свести в одну систему новые данные с хорошо известными фактами, а также предсказать, как будет вести себя система в будущем. В этом месте я сделаю отступление, чтобы отметить популярное у постмодернистов и когнитивистов утверждение о том, что наука якобы искусственно конструирует реальность, отбирая из нее то, что вписывается в ее представления и отметая все остальное. В таком случае, говорят они, не удивительно, что предсказания ученых сбываются, что заложили, то и получили. Утверждения такого рода содержатся и в тексте Хомякова; я дам свой развернутый ответ на них позже. Чрезвычайно важно понять следующее: эмпирический путь, т.е. поиск математического представления, наилучшим образом описывающего лишь данную конкретную серию наблюдений без какой либо связи с остальной базой наших знаний, как правило, ведет в никуда. Именно так поступали когда-то астрономы типа Птолемея и его последователей, когда вместо того, чтобы искать универсальный закон движения небесных тел, просто фиксировали их видимое движение на небе, подгоняя описание кружочками (эпициклами). Хотя такой чисто описательный подход и давал вполне удовлетворительную для тех времен точность, его нельзя перенести, например, на другие планетные системы, не говоря уж о других приложениях. Окажись Птолемей каким-то чудом на планете, вращающейся вокруг другой звезды, ему бы пришлось переделывать всю свою систему с самого начала. Тем не менее, ученым все-таки удается, хотя не сразу и после больших трудов, находить математические модели, покрывающие наблюдаемую нами физическую реальность как бы единой сетью. Первым это сделал своей теорией тяготения Ньютон. Обсуждение того, как именно добываются такие универсальные знания, как были открыты эти принципы и построено то здание физики, которое мы имеем, выходит за рамки данного очерка. Уверенность в том, что мы обладаем действительным знанием, а не иллюзией его, дается предсказательной силой теорий и способностью связать друг с другом внешне совершенно непохожие явления. Например, законы классической механики, те самые три закона Ньютона, с которых начинается изучение физики в школе, легче всего изучать на примере столкновений твердых тел типа биллиардных шаров, колебаний маятника, поведении сжатой пружины, соскальзывании брусков с наклонной плоскости и тому подобных примеров, которые некоторые из нас могут помнить со времен школы. Оказывается, однако, что установив эти законы, человек, обладающий некоторыми математическими способностями, может вывести из них уравнения, описывающие движение жидкостей, хотя планеты, или биллиардные шары никаким образом не похожи на поток воды. Далее неожиданно оказывается, что наука о движении жидкостей, выведенная из классической механики Ньютона, может быть применена (к чему бы вы думали?) - к электротехнике. Другой пример – электромагнетизм. То, что совершенно внешне непохожие электрические и магнитные явления связаны между собою, стало ясно довольно поздно, только в первой половине 19 века. В частности было открыто, что электрический ток, проходящий через провод, может создавать тот же эффект, что и кусок намагниченного железа, отклоняя стрелку компаса. Тогда же были предложены математические описания ряда таких явлений. Все эти разрозненные уравнения собрал воедино в общую систему британский физик Джеймс Клерк Максвелл. Однако, в получившейся системе уравнений Максвелл усмотрел эстетический изъян. А именно, они имели несколько кривобокую форму, не хватало симметрии. В первоначальных уравнениях изменяющееся во времени магнитное поле порождало электрическое, а изменение во времени электрического поля не порождало магнитного. Максвеллу это показалось некрасивым и он, опираясь лишь на веру в сохранение электрического заряда, добавил в уравнение для магнитного поля производную по времени от напряженности электрического поля. Тогда получалось, причем чисто умозрительно, что два этих поля, изменяясь во времени, порождают друг друга по принципу «тяни-толкай», что теоретически давало им возможность перемещаться по пространству самим по себе, в отсутствие какого либо внешнего источника. Примерно через 20 лет после того, как Максвелл написал свои уравнения, Генрих Герц открыл радиоволны. Последствия для нашей цивилизации невозможно переоценить. Приведу другой пример: открытие антиматерии. Зеркальный двойник электрона – позитрон, был чисто теоретически предсказан Полем Дираком в 1928 году. Дирака, как каждого настоящего ученого, мучило то, что предложенное ранее Эрвином Шредингером математическое описание микромира было справедливо лишь для частиц, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. Иными словами, оно не было согласовано со специальной теорией относительности. Высокая наука такой нестыковки описаний не терпит, и, как показала практика, ее разрешение всегда ведет к новым открытиям. Например, разрешение противоречия между механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла привело к созданию теории относительности. Дираку удалось найти соответствующие уравнения, однако новая формулировка имела неожиданное теоретическое, вначале чисто умозрительное следствие – получалось, что у элементарных частиц должны существовать зеркальные двойники. Например, симметричный двойник отрицательно заряженного электрона с той же массой должен был иметь положительный электрический заряд, двойник протона – антипротон, - отрицательный заряд той же величины. В то время, когда Дирак сделал свое предсказание, других частиц, кроме электрона и протона, науке не было известно, да и с какой стати природе следовать за требованиями математической согласованности теорий изобретенных человеком? Однако, позитрон (тот самый умозрительный дираковский антиэлектрон) был открыт американским физиком Андерсоном в 1932 году, антипротон Сегре и Чемберленом в 1955. Имеем здесь пример той самой поразительной, непостижимой эффективности математики – «открытие на кончике пера». Из отвлеченных соображений красоты и симметрии Дирак открыл целый мир реальной, внешней человеку и его математическим изысканиям антиматерии, причем грозящей нам разнообразными последствиями, в том числе вовсе не воображаемой аннигиляцией. От этого мира нам пока досталось полезного не так много, однако позитроны весьма ощутимо используются в медицине для обнаружения раковых клеток (позитронно-эмиссионная томография). Надеюсь, что мне удалось передать дух и суть аргументов Вигнера, остальное читатель найдет в его статье, где все это изложено несравненно лучше. Перейдем теперь к статье Хомякова. Его аргументы можно разделить по характеру на более общие и более частные. Я отвечу сначала на более общие.

Начнем с аргумента, фигурирующего под номером три.

Аргумент 3

. Эффективность математики не абсолютна в виду наличия неразрешимости, например, таких простых задач как гипотеза Эрдеша о числе различных расстояний. И таких неразрешенных задач много. Можно ли говорить в таком случае о непостижимой эффективности любого закона природы, выраженного в математике, если он может хотя бы гипотетически споткнуться о такие неразрешимости?

Вигнер безусловно нигде не говорит о том, что математика может решить все проблемы, это утверждение было бы смехотворным. Он говорит о том, что математика дает естествознанию больше, много больше того, чем от нее можно было бы ожидать. Почувствуйте разницу. Надеюсь, что выше я показал, в каком смысле надо понимать вигнеровские утверждения. Чьи же ожидания превосходит математика? Прежде всего, ожидания тех нетривиально мыслящих ученых, которые с математикой реально работают, хорошо знают ее, совершают открытия в ней самой или с ее помощью. Физики на каждом шагу сталкиваются с трудностью вычислений и с тем, что прекрасно математически сформулированные проблемы в теоретической физике остаются нерешенными в течение многих лет. Вигнеру как действующему математику и физику это было прекрасно известно, и нет ни малейших оснований полагать, что он якобы понимал «эффективность» как всесильность. С какой же целью Александр Хомяков опровергает то, что никакого отношения к Вигнеру не имеет?

Далее Хомяков пишет: … почему не предположить обратное, что, зная законы математики, например, из университетского курса, физики и обнаруживают взаимосвязи между физическими величинами? Ведь без математики физик не смог бы даже определить саму величину, то есть подсчитать ее. Эйнштейн А. писал по этому поводу: «Но с принципиальной точки зрения желание строить теорию только на наблюдаемых величинах совершенно нелепо. Потому что в действительности все ведь обстоит как раз наоборот. Только теория решает, что можно наблюдать» (Эйнштейн А., 2003).

На первое утверждение можно возразить, что содержание нынешнего университетский курса не было известно ни Ньютону, ни Максвеллу, ни даже Эйнштейну в то время, как он формулировал свою специальную теорию относительности. Совершенно справедливо, что физики пользовались и пользуются плодами уже готовых математических открытий, сделанных некогда без всякой связи с нуждами естествознания, но именно это и составляет предмет обсуждения в статье Вигнера о непостижимой эффективности математики. То, что появилось давно, и в значительной степени как чистая игра ума, неожиданно оказалось научно, то есть опытно эффективным, составляя незаменимый элемент экспериментальной технологически плодотворной, и при этом универсальной (а не узко-эмпирической) физической теории. Так что непонятно, с чем тут Хомяков спорит. Еще более непонятно, как первое утверждение связано со вторым. Это второе утверждение, сводящее физику целиком к математике, заведомо нелепо. Предметом физики является установление связи между наблюдаемыми явлениями, реальными, независящими от конкретного наблюдателя событиями. Многое из того, о чем говорит физика, все еще имеет наглядный характер и не сводится к наблюдению за стрелками приборов. Характеристика этих явлений начинается с понятий, математика служит лишь их уточнению. Может быть, здесь автор имеет в виду, что, замыкая физику на математику, физики вкладывают в природу того, чего там нет? В таком случае физика замкнулась бы сама на себя. Я слышал этот аргумент много раз, он в ходу у постмодернистов. Вот определили физики какую-то величину, потом ее подсчитали, получилось и, ура, они уже поздравляют друг друга с успехом, и тут же удивляются ему, забыв, что успех был гарантирован с самого начала. Что заложили, то и получили. Рассуждая так, то ли по невежеству, то ли по недомыслию игнорируют тот факт, что успехи и промахи научных теорий приводят к эффектам, как созидательным, так и порой тотально разрушительным далеко за их пределами. Приложениями и результатами этих теорий пользуются люди, не имеющие даже отдаленного понятия об их математическом содержании. Возьмите летчика, сбросившего атомную бомбу на японские города, или хоть водителя такси, использующего GPS, или штурмана корабля (теперь этим сплошь и рядом занимается компьютер), возьмите инженеров и техников, запускающих космические зонды на другие планеты. Надеюсь, вы не думаете, что Ровер посылает нам фотографии из учебника астрономии, а не с Марса, как, судя по эпиграфу к статье Хомякова, думал профессор Коген? В поддержку своей точки зрения Хомяков приводит слова Альберта Эйнштейна. Эти слова Эйнштейна были сказаны Гейзенбергу в связи с проблемой видимых невооруженным взглядом электронных треков в камере Вильсона. Уже тогда Гейзенбергу и Эйнштейну было понятно из экспериментального материала, из первых математических решений, что в микромире существует двойственность волны и частицы. Однако видимые треки электронов в камере Вильсона подтверждали наличие классической линейной траектории частиц. И только тогда, когда (после этого разговора с Эйнштейном) Гейзенберг придумал матричную механику, сформулировал принцип неопределенности, а Шредингер создал волновое уравнение, стало понятно, как можно объяснить наблюдаемые линейные треки, что они, собственно, значат и какие свойства микромира они на самом деле демонстрируют. Оказалось, что вовсе не то, что представлялись нашему непосредственному взгляду. Эйнштейн, разумеется, никогда не думал, что наше знание иллюзорно, совершенно наоборот. В своих воспоминаниях Гейзенберг подчеркивал, что этот разговор сдвинул научную ситуацию с мертвой точки, так как в очередной раз прояснил, что одной наглядной эмпирии для понимания физических процессов недостаточно. Для их понимания необходимо создание такой теории, которая бы оказалась универсальна, нетривиальна, смела, красива и при этом верна, то есть соответствовала всему массиву как настоящих, так и будущих наблюдений. Чистой эмпирии для создания таких верных, красивых и универсальных физических теорий совершенно недостаточно, как и было сказано выше. Почему недостаточно? Потому что на основании ограниченного числа наблюдаемых фактов можно построить бесконечное количество теорий, правильность которых человечеству не хватило бы ни времени, ни сил проверять. Поэтому создание больших теорий есть дело отдельных гениев, обладающих достаточным упорством, воображением, интуицией и смелостью («безумием», по выражению Бора), чтобы из бесконечного числа возможных решений быстро выбрать единственное верное, то, которое при этом будет иметь универсальное значение для познания в целом. Именно это и удалось сделать в кратчайшие сроки в первые три десятилетия ХХ века таким титанам как Планк, Эйнштейн, Бор, Гейзенберг, Дирак, де Бройль, Шредингер и иже с ними. Ученым такого уровня помогает их эстетическое чутье, убежденность в том, что фундаментальные законы природы должны быть достаточно просты, изящны, "открываемы" (discoverable). Эйнштейн называл это «высшей музыкальностью мысли». Так оно и оказывается: открытые законы вовсе не выражаются громоздкими формулами с большим числом параметров, числом, которое можно было бы увеличивать по мере необходимости, подобно числу эпициклов в системе Птолемея. В качестве примера изящества можно привести уравнения квантовой механики, описывающие практически всю известную человеку химию. Они занимают всего несколько строк и включают в себя лишь три безразмерных параметра (этот пример подробно обсуждается мною в моей книге «Шесть дней»).

Перехожу к аргументам, изложенным во второй части статьи Хомякова.

Часть вторая.

В этой части попробуем показать в трех тезисах, что применение математики в изучении явлений является способом получения знания о явлении как таковых, и что причина «невероятной» эффективности формул математики лежит не в «чуде», а в ее внутренней согласованности как логической системе.

Кому направлен этот аргумент? Вигнер не только не спорит с тем, что математика является «внутренне согласованной логической системой», а именно из этого и исходит. Он предлагает нам удивиться тому, что логически согласованные абстрактные фантазии математиков без всяких на то видимых оснований вдруг дают нам мощные средства реального познания, то есть средства для связи между собой порой совершенно далеких между собой и неожиданных наблюдений. Шахматы, например, или игра «го» тоже являются внутренне согласованными системами с жесткими правилами, но результаты партий даже отдаленно не играют познавательной роли в естественных науках. Примеры таких согласованных внутренне систем с правилами, не имеющих отношения к научному познанию можно приводить бесконечно. Первый тезис таков. Любой эксперимент планируется, и его проведение только подтверждает один из возможных результатов в эксперименте, а не обнаруживает их в нем. Логически эксперимент должен предполагать все возможные его результаты ДО его проведения. Например, если мы пытаемся узнать возраст нового вида черепахи, мы предполагаем под возрастом все возможные значения, даже если это невероятные тысячи лет. Это логически возможный результат в проводимом эксперименте, даже если он невероятный по другим причинам. Первое утверждение здесь заведомо ложно, оно свидетельствует об элементарном незнании того, как устроены реальные научные исследования. Далеко не все, мягко говоря, эксперименты направлены на измерение какой-то определенной физической величины. Сплошь и рядом проводятся наблюдения, в которых вообще не предполагается никакого заранее определенного результата. Автор, похоже, никогда не слышал об экспериментах (а именно они совершали революции в науке), благодаря которым открывались неожиданные явления, существование которых никак не предполагалось, поскольку возможность такого никому не приходила в голову. Совершенным сюрпризом для Пензиаса и Вильсона, открывших реликтовое излучение, было то, что пространство заполнено излучением, пришедшим к нам с момента рождения вселенной (история этого открытия весьма показательна, его авторам вначале даже в голову не приходило, что именно они случайно обнаружили). Многие из этих открытий были не просто неожиданными, а нежелательными, в том числе для создателей теорий, их объясняющих. Эйнштейн, например, чьи уравнения послужили основой всей современной космологии, говорил, что идея нестационарной вселенной выглядит для него отталкивающе. Тот же Эйнштейн, получивший Нобелевскую премию за теорию фотоэффекта, где использовались идеи, легшие в основу квантовой механики, противился ей до конца жизни. Но даже в экспериментах, сфокусированных на определение какой-то одной величины, например такой, как «возраст черепахи», мы можем установить ясное различие между успешной теорией и ложной. Хомяков, судя по всему, не понимает разницы между простым набором цифр и научной теорией. Теория строится специально для предсказаний (подчас с невероятной с точностью до 12-14 цифр после нуля) одних результатов, и исключения других. Согласно Вигнеру, удивительным является то, что витающая в облаках, предельно абстрактная математика, выдумывающая какие-то, по видимости, не связанные с окружающей реальностью и человеческим телом математические объекты типа мнимых чисел, или чисел Грассмана, неожиданно, и при этом гораздо чаще, чем это можно было бы ожидать, оказывается эффективным методом построения успешных физических теорий. Эти теории оказываются неожиданно связанными с будущими наблюдениями, реальными событиями, реальными катастрофами, реальными экспериментами, реальными технологиями. Непонятно, что в рассуждениях Вигнера здесь оспаривает Хомяков.

Второй тезис таков.

Удивление физиков в «эффективности» математики возникает только потому, что они считают разными процессами подсчет цифр и подсчет звезд. Но в действительности для подсчета звезд нужно провести подсчет цифр в пропозиции звезд «одна звезда, две звезды, три звезды». Так мы применяем математику для упорядочивания звезд. И счет звезд остается математической системой как таковой, несмотря на то, что сами звезды – это физическое явление. Но также мы считаем и элементарные частицы микромира. И внутренняя согласованность математики распространяется и на них. Если следовать доводам Вигнера, почему мы не удивляемся тому, что нам удается подсчитать столь разные объекты? Но, поспорит Вигнер, соотношение величин, обнаруженных в разных экспериментах, ведь постоянно, где бы мы его не проводили, в этом загадка непостижимой эффективности.

Признаться, мне трудно понять, что тут имеется в виду, хотя математическая физика моя специальность. Что такое «упорядочение звезд», которое сравнивается с подсчетом частиц микромира? Я не могу усмотреть тут никаких аналогий с известными мне научными процедурами и отдаю этот «тезис» на суд компетентного читателя. Кажется, здесь речь идет о нашей способности к абстрактному мышлению, которая для меня удивительна, но для автора, по-видимому, нет.

"Давайте рассмотрим пример Вигнера с числом «пи». Мы ее видим везде, где есть окружность с радиусом. Но почему мы видим везде окружность? Потому что это такая же геометрическая модель, математическое суждение «окружность с радиусом Х». И длина окружности равна 2*пи не потому, что она чудесным образом равна у всех планет солнечной системы, а потому что она равна у любой окружности сразу после того как мы ее определили в каждой планете, как математическую абстракцию «окружность», подразумевающую идеальную структуру с равностью расстояния точки поверхности планеты от подразумеваемого ее центра (если рассматривать ее на плоскости). И только отсюда следует 2*пи, а не из природы Сатурна или Плутона при рассматривании их в телескоп."

У автора, судя по всему, особые личные отношения с числом "пи", которое, в отличие от всех остальных чисел, он пишет в женском роде. «Ее» [т.е. «пи», - А.Ц.] видим везде, где есть окружность с радиусом». Спросим, заодно, разве бывают окружности без радиуса? Далее, по Хомякову, оказывается, что мы видим окружность буквально везде. Тут поневоле на ум приходит известное выражение «круги перед глазами». Однако, простим автору неряшливость его стиля, ошибки пунктуации и опечатки, благодаря которым Вигнер иногда превращается в Вагнера, и попытаемся проникнуть в смысл его утверждения. Утверждение, как мне представляется, состоит в том, что число "пи" возникает как свойство определенной нами идеальной фигуры, все характеристики которой вытекают из нами же данного определения. С этим очевидным утверждением трудно не согласиться. Но в том то и дело, что все эти идеальные математические объекты, которые представляются просто ментальными конструкциями, оказываются полезными для описания явлений, происходящих совершенно независимо от нас. Мы не можем по своей воле изменить движение планет, включая Сатурн и Юпитер. Вигнер, а вместе с ним и многие другие ученые высшего уровня, обращают внимание на удивительные соответствия между миром нашей умственной игры, где у нас, казалось бы, есть свобода создавать все, что угодно, лишь бы оно было логично, и миром жестких, подчас опасных для нашей жизни явлений, независимых от нас. Хомяков ничего, никаких аргументов в ответ на это не предлагает, говорит лишь, что это само собой разумеется, и мир как пластилин, принимает форму, навязываемую ему нашим умом. Пример Вигнера с числом "пи" , приведенный в самом начале его статьи, не имеет никакого отношения к планетным орбитам, как я уже имел случай объяснить. Вигнер обратил наше внимание на удивительность присутствия числа "пи" во множестве формул, не имеющих никакого отношения не только к окружностям, но и к каким бы то ни было геометрическим телам. Начальной точкой для его рассуждений послужило распределение Гаусса.

"Более того, мы подгоняем результаты экспериментов под свои расчеты или предположения так как показал это Л. Витгенштейн в своем знаменитом примере. Если после сложения двух яблок с двумя яблоками мы получим получим три яблока, то мы скажем, что одно яблоко пропало во время пересчета, но никогда не скажем, что значит 2+2=3. «Математические предложения так же не могут опровергаться экспериментами как и предложение «в 1 метре 100 см» (Сокулер. З.А., 1988, стр.103). Математические суждения «это правила». «Мы можем предсказать результаты вычисления (измерения, взвешивания и проч.), потому что, осуществляя эти процедуры, следуем тем правилам, на которых основаны наши предсказания» (Сокулер З.А., 1988,, стр. 103). Именно в этом состоит ответ на вопрос Клайна М., почему математические следствия аксиом также подтверждаются – потому что мы их так же рассматриваем сквозь призму математики, это математические следствия в установленной пропозиции с физическим явлением."

Мне кажется, что Хомяков напрасно здесь ссылается на Витгенштейна. Вряд ли аналитический философ мог путать физиков с бухгалтерами, пишущими фальшивые отчеты. Приведенная  цитата  говорит о том, что математические утверждения  не подлежат экспериментальной проверке, а должны доказываться иным путем. Т.е. математика не является опытной наукой. Но кто же с этим спорит? Вигнер и многие вместе с ним как раз и поражаются тому, что такая  математика имеет отношение к экспериментальной науке, каковой является физика. Цитата из Сокулер доказывает только то, что Хомяков не одинок в своем непонимании того, как работает фундаментальная наука. 

Третий тезис таков. Без каких-либо априорных правил построения суждений невозможно сами суждения, а значит и знание! Без «системы мер» знание не возможно ни подсчитать в эксперименте, ни вывести в рассуждении из сравнения посылок.

Вне зависимости от того, верен этот тезис или нет, мне совершенно непонятно, какое отношение он имеет к проблемам эффективности математики. 

 Обратимся теперь к выводам автора. 

Математика не всесильна и не универсальная для описания природы многих процессов, например, в живых организмах. У нас просто нет такой математики. А значит вот эта математика в ней не укоренена никак (в смысле пифагоризма), чтобы мы могли ее «прочитать». Как было показано выше на примере задачи Эрдеша, математика далеко несовершенна, в ней есть неразрешимые проблемы. Но может ли природа быть "неразрешимой"? Очевидно что нет.

Я снова повторяю, что Хомяков ломится в открытые двери. О всесильности математики речи в эссе Вигнера нет ни слова, ни намека. 

 Намного вероятнее отсюда сделать вывод, что математика есть инструмент, которым мы мыслим, а не которые считываем из природы процессов. И похоже, что математика телесно укоренена и все ограниченные возможности нашего тела «тащит» за собой.

Первое утверждение не противоречит Вигнеру, чье удивление  продиктовано именно тем, что, с одной стороны, математические утверждения не «считываются из природы процессов» или, по словам Витгенштейна, математика не является экспериментальной наукой, а с другой стороны тем, что аппарат математики может быть эффективно использован в экспериментальной науке.  Далее, математика, конечно же  «укоренена телесно». Но как же математике удается «тянуть за собой ограниченные способности нашего тела»? Какая сила позволяет нам запускать наукоемкие, построенные благодаря изощренным абстрактным уравнениям, космические корабли на Марс? Что позволяет нам наблюдать далекие галактики, производить ядерные бомбы, атомные электростанции  и делать еще миллион других вещей, к которым наша телесность вряд ли могла нас подготовить, так как сформировалась, как нас учат,  во время охоты на антилоп в африканской саванне?  

  Приведу здесь две цитаты. Первая из американского философа Алвина Плантинги: 

 

«…с точки зрения мыслящего натуралистически идея того, что познавательные способности надежны (то есть ведут в основном к истинным полаганиям), было бы в лучшем случае наивной надеждой. Мыслящему натуралистически было бы разумно думать, что нейрофизиологические процессы, ответственные за формирование убеждений, носят адаптивный характер, из чего нельзя ничего заключить об их истинности. На самом деле надежность наших способностей при условии ненаправленности эволюции должна представляться маловероятной. Если эволюция не является направленной, то следует скорее ожидать, что мы живем в своего рода мире сновидений, чем думать, что мы знаем что-то о себе самих и мире вокруг нас».

              Вторая цитата   из эссе Клайва Льюиса «Бог под судом»:

«…реальные науки не могут существовать без рациональных умозаключений, поскольку каждая наука объявляет себя ни чем иным, как серией умозаключений из наблюдаемых фактов. Только с помощью умозаключений мы можем представить себе наши туманности и наши протоплазмы, наших динозавров, наши человекообразные существа и наших пещерных людей. Если мы для начала не поверим, что реальность в самом отдаленном пространстве и в самом отдаленном времени неумолимо подчиняется законам логики, у нас попросту не будет основания верить в какую бы то ни было астрономию, биологию, палеонтологию или археологию (…) Если мой разум — продукт иррационального; если то, что кажется мне ясным логическим мышлением, всего на всего комплекс ощущений, свойственный подобным мне существам, то как же могу я доверять своему разуму, когда он говорит мне об эволюции? Ведь в результате говорят следующее: «Я докажу, что то, что мы называем доказательством, есть всего лишь следствие ментальных привычек, каковые есть наследственность, каковая есть следствие биохимии, каковая есть следствие физики». Но это все равно что сказать: «Я докажу, что доказательства иррациональны»; или еще короче: «Я докажу, что доказательств не существует». Некоторые ученые не замечают здесь противоречия, и научить их замечать его совершенно невозможно, а это подтверждает подозрение, что мы имеем дело с болезнью, самым радикальным образом поразившей весь стиль мышления». 

Хомяков заключает:

… кратковременная память скорее всего является причиной того, что нам не под силу создать многофакторную математику с тысячами параметров для описания динамичного процесса живых организмов. Зато это могут учитывать модели, обученные методом машинного обучения. При этом, даже зная каждый вес в создаваемых при обучении тензорах (вес связей нейронных сетей, например), мы не понимаем до конца как описать эти образовавшиеся в результате обучения взаимосвязи. У нас есть нейросети, но до сих пор нет математики нейросетей, хотя мы их сами создали. Тем более нам недоступна математика всего, что мы не создавали, а только пытаемся познать.

Здесь у Хомякова возникает уже полная логическая путаница. Автор утверждает, что нейросети способны создавать математику лучше, чем люди. Отлично,  пусть так, но в каком же смысле лучше? По словам автора в том, что такая математика будет эффективнее нашей описывать поведение живых систем. То есть живые системы здесь выступают как объективно существующее явление, которое мы описываем плохо, а нейросети будут описывать хорошо. Чем описывать, каким инструментом? Математикой. Получается, что она, эта предполагаемая математика, в принципе способна объективную реальность описать. А как же быть тогда со звездами, которые существуют только в учебнике астрономии? Если есть, с одной стороны, независимые от нейронных сетей явления, а с другой, «телесно укорененная» в нейросетях математика, которую они «используют, как инструмент, а не считывают из природы процессов», которые эта математика призвана описать, то  разве не встанут нейронные сети и мы опять вместе с ними перед тем же вопросом, что и Вигнер?  Повторим этот вопрос: каким образом ментальная конструкция способна описать независимую от нее реальность?  Словом, мысль Хомякова совершила полный круг как змея на древнем египетском символе, кусающая свой хвост. Перед нами окружность с неким диаметром. Мы начали с числа "пи" и вернулись туда же. 

Список литературы.

  • Wigner E., https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf
  • Пенроуз Р. Путь к реальности, или Законы, управляющие Вселенной. — М., Ижевск, 2017.
  • Steiner M. The Applicability of Mathematics as Philosophical Problem. — Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1998.
  • Colyvan M. The Miracle of Applied Mathematics, Synthese 127, 265-277, 2001.
  • Алексей Буров. «Тайны физики и их разоблачения. https://snob.ru/profile/27355/blog/115065
  • Burov A., Burov L. Genesis of a Pythagorean Universe // Trick or Truth? The Mysterious Connection Between Physics and Mathematics / eds. A. Aguirre et al. — FQXi; Springer, 2016. — P. 157–169. https://pythagoreanuniverse.com/files/Genesis-of-a-Pythagorean-Universe_Trick-or-Truth_Springer.pdf
  • Burov ., Burov L. Moira and Eileithyia for Genesis // Wandering Towards a Goal FQXi Essay Contest (2016–2017). https://fermisocietyofphilosophy.files.wordpress.com/2017/03/fermi-slides-moira-and-eileithyia.pdf
  • Алексей Буров. «Загадка жизни», http://lebed.com/2021/8115.htm
  • Alexei Tsvelik, “Six days. Reason as a Cosmic Phenomenon”, русская версия готовится к печати в издательстве «Практика».
  • Burov A. and Burov L. “Metaphysical Status of Physical Laws”,  in Plato in Late Antiquity, Selected Papers from the XVII-th Annual Conference of the International Society of Neoplatonic Studies, https://www.prometheustrust.co.uk/html/collections_from_the_isns.html#PLA
  • Tsvelik A. “Non-probabilistic Approach to Anthropic Principle and a Fallacy of the Fine-Tuning Argument”,ibid.
  •  P.S. Не могу удержаться, чтобы не поделиться с понимающим математику читателем несколькими действительно удивительными примерами из математической физики. Как уже следует из приведенного Вигнером первого примера, внутри самой математики существуют неожиданные переклички – число "пи" на первый взгляд ни к селу, ни к городу возникает в распределении Гаусса, "пи",е,i связываются друг с другом в формуле Эйлера exp(i"пи") =-1, последовательность чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,… (ряд Фибоначчи) оказывается связанной с пятиконечной звездой и т.д. Во многих случаях, однако, связь удается установить. Возьмем, например, распределение Гаусса. Это частный случай вероятностного распределения. В общем случае такие распределения задаются в виде функции P(x) такой, что вероятность обнаружить случайную величину x в интервале (x, x+dx) равна P(x)dx. В распределении Гаусса х может меняться от минус до плюс бесконечности. Поскольку считается, что событие, характеристикой какового x является, определенно имеет место, то сумма всех вероятностей, т.е. интеграл функции P(x) от минус до плюс бесконечности должен быть равен единице. В случае распределения Гаусса P(x) = (1/А) exp(-x2/2 ) (я здесь несколько упрощаю для краткости изложения). Чтобы установить коэффициент пропорциональности (1/А) нужно посчитать интеграл, который не берется в квадратурах. Ниже мы вычислим его, используя определенный трюк:

    Квадрат интеграла позволил перевести его в двойной интеграл, который вычисляется в квадратурах после перехода к полярным координатам. Вот где "пи"-то было запрятано! 

    В данном случае хорошо запрятанную связь Гауссова распределения с числом p можно обнаружить, как выясняется, средствами самой же математики. Однако, есть примеры покруче, где обнаружить связь не удается. Вот один из них.  Известно, что существуют ситуации, когда уравнение Шредингера, описывающее поведение произвольного количества взаимодействующих друг с другом элементарных частиц (например, электронов), допускает точное аналитическое (т.е. полученное не на компьютере) решение. Иными словами, пресловутая проблема многих тел может быть в этих случаях решена, что называется, на бумажке.  Первый пример такой интегрируемой квантовой системы был найден Гансом Бете в 1931 году. Для систем большого количества частиц нас интересует главным образом термодинамика, т.е. зависимость усредненных по системе свойств от температуры, магнитного поля и т.д. Так вот, оказалось, что свободную энергию интегрируемой  системы многих тел можно получить, не решая многочастичное уравнение Шредингера, а вычисляя Вронскиан решений  другого уравнения, а именно,  уравнения Шредингера для одной (фиктивной) частицы. Это уравнение описывает какую-то фиктивную частицу, находящуюся в фиктивном пространстве, роль постоянной Планка в этом уравнении играет температура, а форма потенциальной энергии определяется формой исходной многочастичной модели.  Итак, оказалось, что одна математическая модель, очень сложная, оказалась эквивалентна другой, более простой, но тоже достаточно сложной. Почему так? Как говорится, «где имение, а где вода» или «в огороде бузина, а в Киеве дядька». Данное удивительное совпадение получило название «ODE-TBA correspondence” (соответствие между «обыкновенными дифференциальными уравнениями» и «термодинамическим анзацем Бете»). Это не единственный подобный пример, есть много примеров эквивалентности совершенно, казалось бы, не схожих друг с другом математических моделей. 

    Взять хотя бы модную в настоящее время AdS-CFT correspondencehttps://en.wikipedia.org/wiki/AdS/CFT_correspondence. Но, я думаю, достаточно. По мне так, все это выглядит, как  остроумие Высшего Разума, напоминающего математикам, кем устроена та песочница, в которой они играют.