1.5. Гармонические ряды. Сложный и простой тон

Многие исторические личности, музыканты, математики или филосо- фы, уделяли большое внимание тому, как колеблется свободная стру- на. Или просто любая веревка, натянутая между двумя колышками. Все струнные музыкальные инструменты используют звук колеблю- щейся струны, усиливая и изменяя его тембр с помощью резонаторов и/или различных способов звукоизвлечения. Но сначала рассмотрим подробнее гармоники и обертоны свободно звучащей струны. Это по- может в понимании базовых концепций музыкальной гармонии. Как ни пафосно это звучит, так оно и есть.

Я нарисовал гениальный рисунок, иллюстрирующий то, как ко- леблется струна.

Верхняя полуволна на рисунке называется 1-й гармоникой, она определяет слышимую высоту музыкального тона. Вторая кривая (две полуволны) называется 2-й гармоникой и т.д.

Соотношение амплитуд гармоник определяет тембр звука.

Мы знаем, что если хорошенько дернуть струну, она начнет коле- баться. Причем колебаться сложным образом — ее колебания будут яв- ляться суммой более простых колебаний с определенными, заданными частотами и амплитудами. При этом при затухании звука соотношение амплитуд волн разных частот (а значит, и тембр звука) будет меняться.

Так вот, если длина струны L, то первое, самое сильное колебание (определяющее высоту основного тона звучащей струны) имеет такую длину волны, что половина длины волны равна L. Звуки в струне будут рождаться такие, чтобы колебания струны, которые им соответствуют, имели минимумы амплитуды, строго говоря — амплитуду, равную ну- лю («узлы») на концах струны, которые жестко закреплены и не мо- гут колебаться. (Высоту звука, производимого струной, определяет не только его длина, а еще и натяжение струны, которое влияет на упругие свойства струны и, как следствие, на скорость распространения попе- речной волны по струне

1

.) Кроме волны, имеющей «пучность» посре- дине струны (1-я гармоника), мы можем наблюдать еще волны других типов, у которых в длину струны L укладывается не половина волны, а две полуволны, три полуволны и т.д. (гармоники 2-я, 3-я и т.д.). На- блюдая за звучащей гитарной басовой струной или басовой струной рояля, можно заметить на ней, если внимательно присмотреться, та- кие же волны, «узлы» (минимумы амплитуды колебаний различных волн) и «пучности» (максимумы амплитуды колебаний), как и на пос- леднем рисунке. Амплитуды звуков высших гармоник (гармоник 2, 3 и т.д.) будут меньше, чем амплитуда основного тона (1-й гармоники, основной частоты). Соотношение амплитуд гармоник реальной струны будет определяться свойствами струны и музыкального инструмента, резонаторов инструмента (гитара, скрипка и пр.) и способом извлече- ния звука (где, как сильно и чем дернули за струну)

2

.

Собственно говоря, гармоники — это всего лишь устойчивые обер- тоны струны. Простое спектральное разложение полного, суммарного звука, исходящего от натянутой струны.

Например, любой гитарист знает, что из басовой струны легко по- лучить ясно звучащий обертон, гармонику, если использовать «флажо-

1

Конечно, в жизни все сложнее. Реальные струны имеют определенную толщину, материал, из кото- рого изготавливают струны, имеет свой предел прочности и коэффициенты упругости. То место, где струна крепится к колкам музыкального инструмента, не может колебаться так, как мы показали на идеальных, математически точных рисунках с гармониками струн. Вблизи мест крепления струн они вообще могут с трудом колебаться. Эти особенности реальной струны уменьшают эффективную длину волны струны и влияют на тембр, то есть на соотношение амплитуд гармоник струны, так как поперечным волнам высокой частоты очень тяжело колебаться на толстом, жестком, неподвижном цилиндре, который представляет из себя струна вблизи точки крепления. Подробно эти особенности реальных струн (наряду с реальными флейтами) описаны в замечательной книге Криса Форстера «Му- зыкальная математика» («Musical Mathematics» Cris Forster) и в книге Дейва Бенсона «Музыка: Взгляд с точки зрения математики» («Music: A Mathematical Offering» Dave Benson). К сожалению, пока обе эти книги доступны только на английском языке.

2

Если говорить языком математики, то решение уравнения колебательного движения струны будет определяться начальными условиями: первоначальными значениями координат и скорости каждого кусочка струны. 

лет». То есть слегка прижать «пучности» струны в определенной точке, погасив таким образом колебания 1-й или 2-й гармоники.

Но раз уж мы рассуждаем тут не о физике, а скорее о музыке, нужно более внимательно рассмотреть понятие гармонического ряда и тембра музыкального звука. Как уже говорилось, соотношение гар- моник, обертонов основного тона определяет тембр, интонацию звука.

Более 100 лет назад известный композитор С.М. Майкопар писал в своей книге «Музыкальный слух», что без гармонических рядов, без тембра вообще не существовало бы всей музыкальной системы.

Часто тембральную окраску звуков сравнивают с радугой. Но, смотря на белый цвет, мы не подозреваем о том, что он состоит из множества цветов радуги. Так же и слыша какой-то звук, мы не мо- жем с ходу определить, из совокупности скольких звуков, гармоник, обертонов он состоит. Мы можем слышать тембр звука, его окраску, интонацию. То есть тембр звука, музыкального инструмента или го- лоса человека у нас ассоциируется с неким устойчивым образом. Для музыкантов тембр звука имеет одно из самых важных значений.

Если ударить молоточком, скажем, по басовой струне

до

старого немецкого рояля, то родится не только звук

до

басового диапазона, а еще и звуки, длины волн которых «укладываются» целое количество раз в этой струне. Эти дополнительные звуки, гармоники, принято ну- меровать. Номер гармоники звука отражает число колебаний каждо- го гармонического тона, приходящееся на одно колебание основного тона. Длины волн гармоник, дополнительных колебаний, обертонов будут соотноситься как 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. Соответственно, частоты гар- моник относятся к частоте основного тона как 2/1, 3/1, 4/1 и т.д.

Гармоники ноты

до

басовой октавы (1-я гармоника) выглядят так:

до

малой октавы (2-я),

соль

малой октавы (3-я),

до

1-й октавы (4-я),

ми

1-й октавы (5-я) и т.д. При этом соответствие гармоник нотам рояля несколько условное, так как равномерно темперированный строй роя- ля лишь примерно соответствует различным, так называемым чистым, натуральным строям, к которым относится и настройка «по гармони- кам». 

То есть когда нам кажется, что мы слышим какую-либо ноту, взя- тую на рояле, гитаре и на любом ином инструменте, на самом деле мы слышим кроме основного тона звука, задающего высоту, еще и мно- жество обертонов, гармоник, определяющих тембр звука.

Интерес также представляет вопрос, не имеющий прямого отно- шения к музыке: а как же вообще может одна струна одновременно издавать несколько звуков? Поверим физикам — она может и не та- кое. Достаточно очевидным является замечание, что, в силу различ- ных физических параметров, колебания струны с разными частота- ми, гармоники свободно звучащей струны будут затухать по-разному. И тембр (соотношение гармоник струны) будет меняться во времени. Так что звук

до

сразу после взятия его на рояле и спустя 5 секунд будут отличаться. И человек с «правильным ухом» легко может это заметить.

Теперь — что касается «простых» и «сложных» тонов. «Простой», «чистый» тон — звук одной частоты, который можно издать лишь с помощью генератора частот. В природе таких звуков не существует. В природе и в музыке существуют только «сложные» тоны, состоящие из основного тона (если он вообще есть) и множества дополнительных гармоник, обертонов.

Многие люди считают, что есть «приятные» сочетания звуков, а есть «неприятные». Говоря об интервалах звуков, аккордах, их еще называют консонансными (благозвучными) и диссонансными (небла- гозвучными). И вот выяснили, что благозвучными являются сочета- ния звуков, частоты которых соотносятся как небольшие целые числа. В каком-то смысле это понятно.

Вот и в звуке одной струны очень даже благозвучно сочетают- ся как основной тон, так и все гармоники струны, а именно — звуки с удвоенной, утроенной, учетверенной и т.д. частотами основного то- на. Ведь к звуку-то одной струны у нас претензий вроде бы нет?! Нет! Потому и хочется сделать из этих гармонично сочетающихся звуков (гармоник) нечто такое, с помощью чего можно было бы играть на ба- лалайке или ситаре песенки и петь каноны в церкви.

Принципы построения звукорядов, музыкальных строев на осно- ве гармоник свободно звучащей струны я рассмотрю позже. Это отде- льный, очень интересный вопрос.

Поговорим теперь о тембре.

1.6. Звуковая краска. Тембр

Удивительно, но понятию «тембр» в различных книгах по музыке при- дается относительно малое значение. Чаще всего говорится о высоте ноты, ее громкости или длительности. Это представляется странным. Пожалуй, только тот же, упоминавшийся ранее, композитор С.М. Май- 

копар в книге «Музыкальный слух» уделил этому понятию достойное внимание.

Если сравнивать звук и цвет, то тембр звука подобен цветовому отличию разных мазков на картине художника. Ведь нам совсем не все равно, какими красками будут нарисованы солнце, трава и небо. Совсем не все равно. Живопись нельзя свести к графическому изобра- жению предметов. Иногда это бывает интересным, но лишь в редких случаях. Музыка, воспроизводимая без участия тембральной окраски звуков, на слух очень неприятна. Она похожа на звучание дешевых синтезаторов и детских звучащих книжек, которые, по мнению про- изводителей, должны развивать слух у ребенка, а по сути — губят его.

Самое часто встречающееся определение того, что означает тембр, примерно такое: «Тембр — это то, чем отличается звук скрипки от зву- ка рояля». Ну... Тембром они, конечно, тоже различаются. Однако при этом тембр каждой из струн рояля отличается, так же как и на скрипке одну и ту же ноту можно взять тысячью разных способов с различным тембром образующихся звуков. Многие знают, что звуки, извлекаемые из скрипки молодым музыкантом (а именно — тембральная окраска, интонация звука), совершенно невыносимы. И вообще молодые люди часто совершенно невыносимы.

Что же такое тембр? В XIX веке, когда еще не было компьютерных спектральных анализаторов звука, легко раскладывающих сложный звук на гармоники, акустический гуру Гельмгольц удивительно точно сформулировал основную идею: «Тембр звука характеризуется формой колебаний». А ведь и правда! Звуковая волна, состоящая из одной гар- моники, имеет форму синусоиды. Из двух — сложнее, из трех — еще сложнее. С точки зрения учения о гармонических рядах (и рядах Фу- рье), тембр звуков отличается различными сочетаниями гармоник и обертонов, их частот и амплитуд. Это сочетание может быть бесконеч- но разнообразным.

Если на следующем рисунке (см. с. 38) мы посмотрим на форму волны звука рояля и звука кларнета, на кривые звукового давления (эти кривые находятся над амплитудно-частотными характеристика- ми), то мы заметим, что кривые отличаются. Но при этом кривые со- вершенно неинформативны! Периодический сигнал, слегка похожий на синусоиду, весь покрыт какими-то зазубринами, большими и ма- ленькими впадинками, понять, что к чему, совершенно невозможно. Другое дело — спектральное разложение этих звуков, амплитудно-час- тотная характеристика. Видно, что амплитуда высших гармоник ро- яля более-менее плавно убывает с ростом частоты. И этих гармоник, обертонов довольно много. Спектр кларнета же гораздо менее богат на обертоны и гармоники. В области 2500 Гц — 3000 Гц обертоны образуют даже некую группу. Такие группы часто называют формантами или формантными группами. Тоже, конечно, непростые графики, но уж точно лучше, чем кривая давления звука рояля и кларнета. 

В природе не существует «простых», «чистых» звуков, тембраль- но не окрашенных. Наиболее «чистым», почти без примеси гармоник, по-видимому, является звук камертона. Форма его звука близка к си- нусоиде.

Соотношение частот и амплитуд гармоник музыкального инстру- мента определяется его устройством и, в принципе, может быть бес- 

конечно разнообразным. У некоторых типов инструментов есть общие особенности. В звуках кларнета и других закрытых духовых инстру- ментов отсутствуют четные гармоники основного звука. Просто в си- лу устройства инструмента. В звуках русских колоколов присутствует много некратных основному тону обертонов, поэтому звук колокола сложно напеть.

Если в звуке много гармоник, то он выглядит «богатым». Но если в нем слишком много дополнительных гармоник и обертонов, он вы- глядит «грязным», а если много верхних гармоник — резким, крикли- вым, неприятным.

Ну и, заканчивая говорить о тембре, нужно сделать еще два заме- чания. Первое касается того, что человеческое ухо не может слышать звуки выше некоторой граничной частоты, около 16–20 кГц. А часто- ты гармоник одной ноты отличаются от первой гармоники в 2, 3, 4 и более раз, практически до бесконечности. То есть начиная с какой-то гармоники человеческое ухо просто не слышит этот звук, его частоту. А чем больше человек слышит гармоник звука, тем более «богатым» и «интересным» ему кажется звук. Нетрудно догадаться, что наиболь- шее количество гармоник (самый «богатый» звук) мы сможем услы- шать у низких звуков. На рояле — у нот в басовом диапазоне. Верхние ноты на рояле звучат «бедненько», «плоско», «одинаково» по тембру. Но они не виноваты. Виноваты наши уши. Впрочем, они не очень-то и виноваты. Виновата природа. Да и она, по большому счету, ни в чем не виновата. Просто так все устроено.

Второе замечание, которое нужно сделать, касается того, что обер- тоны, определяющие тембр звука какого-либо музыкального инстру- мента, вовсе не должны быть кратными основному тону звука. Они могут иметь произвольную частоту. Это может определяться формой звучащего объекта (например — колокола, квадратной металлической пластинки), формой резонатора (скрипки или лютни) и многими дру- гими факторами. Некоторые инструменты специально изготавливали так, чтобы можно было услышать два ярких максимума звука, два яр- ко выраженных некратных обертона. Например, так конструировали в древности двухтоновые китайские колокола. Рисунок колебательных мод двухтоновых колоколов вы можете видеть на рисунке. Китайцы выделяли в звуке такого колокола два тона — su и gu, соответствующие двум базовым устойчивым модам колебания колокола. 

Тембр: как мы его различаем? Нестационарные фазы звука. Форманты

О чем этот раздел? Вроде бы уже поговорили о тембре звука, зачем еще что-то говорить? Однако меня часто интересовал вопрос: как человек может выделить и опознать тембр музыкального инструмента, даже ес- ли он плохо различим на фоне помех, как можно узнать голос человека (тембр его голоса) по телефону, когда голос или звук инструмента про- шел последовательно через плохие микрофоны, плохие провода и пло- хие динамики? Как человек может выделять голос своей любимой соба- ки, голос своего нелюбимого начальника на фоне общего шума и гама?

Долгое время, на протяжении 100–150 лет, начиная с акустичес- кого гуру Гельмгольца и до нашего времени, почти никто не подвергал сомнению тот факт, что тембр звука (голоса) определяется соотношени- ем гармоник, на которые раскладывается звук. Говорилось все это о так называемой стационарной части звука, то есть о том периоде, когда звук уже не меняется. И вот выяснилось, что человек (почти как лягушка) слабо — или, по крайней мере, в меньшей степени — реагирует на уста- новившиеся процессы, не очень хорошо выделяя их на фоне окружаю- щего мира. А обращает он внимание на нестационарные, динамические параметры звука, в том числе и на тембр.

В формировании любого звука (музыкального инструмента или голоса) можно выделить три фазы: атаку (процесс нарастания звука), стационарную часть и фазу спада звука. В различных инструментах, у человека и животных, в зависимости от используемых у них способов звукообразования, временные

́

интервалы этих фаз разные. У ударных и щипковых инструментов, например гитары, мы слышим короткий отрезок времени атаки и стационарной фазы и длинный — фазы зату- хания. В звуке органной трубы достаточно длинный отрезок стационар- ной фазы и короткий период затухания. Оказалось, что для быстрого опознания тембра инструмента или голоса человек больше внимания уделяет нестационарным фазам звучания: атаке и фазе затухания звука.

Флейта использует в качестве резонатора открытую с двух концов трубу, поэтому содержит в спектре все четные и нечетные гармоники. При этом уровень (амплитуда) гармоник быстро уменьшается с частотой. У кларнета в качестве резонатора используется труба, закрытая с одного конца, поэтому в спектре звука содержатся лишь нечетные гармоники. В звуке трубы мы слышим много высокочастотных гармоник. Тембры всех этих инструментов совершенно разные: у флейты — мягкий, не- жный, у кларнета — матовый, глуховатый, у трубы — яркий, резкий.

Наличие в звуке 5–7 первых гармоник с большими амплитудами делает звук полным, сочным. Большое число высокочастотных гар- моник с одновременным ослаблением первых гармоник делает звук резким, скрипучим. Разнообразие тембров велико, правда, сложно их 

как-то определенным и однозначно трактуемым образом называть. Вот и появляются определения-«уродцы»: малиновый, теплый, барха- тистый, металлический и т.п.

Интересной особенностью гармоник и обертонов является то, что они, как правило, не равномерно распределены по частотной шкале, а стремятся образовывать группы гармоник, называемые «формантны- ми группами». Расположение форматных областей служит главным критерием различимости звуков речи. То есть именно по формантным группам мы различаем звуки «а», «э», «и», «м» и др. Обертоны гласных звуков обычно образуют всего 2–3 формантные группы с частотами 0,5– 0,6 кГц, 1,1–1,3 кГц и 2,5–2,6 кГц. Такие группы связаны со строением нашей носоглотки, резонансными полостями. Чувствительность уха в области средних частот (голосовом диапазоне) чрезвычайно высока, что и понятно, ведь речь, понимание ее нюансов и улавливание ин- тонаций очень важны для людей. Особенно высока чувствительность уха к частотам 2,5–3 кГц. В эту область попадает верхняя формант- ная группа звуков нашей речи. Такая форманта называется «певческой формантой». Преподаватели пения стараются научить «закачивать» в нее максимум звуковой энергии. Получаемый при таких тренировках голос мы хорошо знаем, это так называемый оперный голос, он хорошо выделяется даже на фоне симфонического оркестра.

Тембр звучания музыки и речи изменяется в зависимости от изме- нения громкости и от транспонирования музыки, голоса, звуков по высо- те. Во-первых, при увеличении амплитуды колебаний источников звуков различных музыкальных инструментов (струн, мембран, дек) в них на- чинают проявляться нелинейные эффекты, что приводит к обогащению спектра дополнительными обертонами. На рисунке показан спектр звука рояля при разной силе удара по струне (piano, m. forte, forte), кроме выде- ленных обертонов на рисунке видно и шумовую часть спектра. 

Во-вторых, с увеличением уровня громкости изменяется чувстви- тельность слуховой системы к восприятию низких и высоких частот. Поэтому при повышении громкости (до разумного предела 90–92 дБ) тембр становится полнее, богаче, чем при тихих звуках. При дальней- шем увеличении громкости начинают сказываться сильные искажения в источниках звука и слуховой системе, что приводит к ухудшению тембра.

Вернемся к нестационарным фазам звука. Процесс атаки особенно важен для распознавания тембра еще и потому, что является устойчи- вой характеристикой звучания данного инструмента. Устойчив он для восприятия прежде всего потому, что менее всего подвержен «окраши- ванию» со стороны помещения, поскольку первые отражения поступа- ют к слушателю с определенным запаздыванием, после того как фаза атаки уже завершена и поступила к слушателю неокрашенной в виде прямого звука. Если бы этого не было, то распознать тембр инструмен- 

та при исполнении в различных помещениях было бы очень сложно или невозможно. Эксперименты показали, что слушатели не могут опознать музыкальный инструмент, если фаза атаки удалена или из- менена. Если поменять местами фазы атаки и спада (проиграть, на- пример, запись любого инструмента в обратном направлении), тембр меняется до неузнаваемости.

На рисунке приведены примеры зависимостей уровня звуково- го давления от времени и их спектрограмм (зависимостей амплитуд обертонов от времени) для начального периода установления колеба- ний (атаки) различных инструментов. Что это за непонятные графики? В действительности все просто. В верхних частях рисунков мы видим форму сигнала звука различных инструментов, график изменения зву- кового давления. Форма кривой со временем меняется, а потом стано- вится более-менее неизменной. То есть звук музыкального инструмен- та отличается во время фазы атаки, нарастания звука и стационарной фазы. Ниже кривых давления звука показаны спектры звука. Если бы спектр не менялся со временем, все палки, амплитуды соответствую- щих гармоник и обертонов, были бы одной длины. А так они меняются со временем. При этом меняется и тембр. Такие нестационарные фазы звука, фаза нарастания и фаза затухания, очень, даже принципиально, важны для опознания по тембру какого-то музыкального инструмента или звука речи. Об этом говорят экспериментальные исследования. 

Тембр и принципы распознавания слуховых образов

Современная психоакустика (наука на стыке физики, биологии и пси- хологии) утверждает, что тембр звуков, музыкальных или не-музы- кальных, лежит в основе принципов распознавания человеком зву- ковых образов. При этом гештальтпсихология (geschtalt,

нем

. «образ») и психоакустика считают, что для разделения и распознавания звуко- вой информации, приходящей к нам из множества источников в одно и то же время (игра оркестра, разговор многих собеседников), наша слуховая система использует некоторые общие принципы.

Первый принцип — сегрегация. То есть слуховой аппарат разде- ляет общий звук на отдельные звуковые потоки, субъективно выделяя определенные группы звуковых источников. Например, при музы- кальной полифонии слух может отслеживать развитие мелодий у от- дельных инструментов.

Второй принцип — подобие. Звуки, похожие по тембру, группи- руются вместе и приписываются одному источнику. Например, звуки речи с близкой высотой и похожим тембром считаются принадлежа- щими одному собеседнику. 

Третий принцип — непрерывность. Слуховая система может до- думывать (интерполировать, экстраполировать) звук. Например, если в речь или музыку вставить короткий отрезок шума, слуховая система может не заметить его, звуковой поток будет продолжать восприни- маться как непрерывный.

Еще один принцип — «общая судьба». Звуки, которые стартуют и останавливаются, изменяются по амплитуде или частоте в опреде- ленных, небольших пределах синхронно, приписываются одному ис- точнику.

Раздел науки, рассматривающий восприятие звуковых образов (так же как и визуальных, тактильных), чрезвычайно велик. Невоз- можно охватить его в какой-то заметной степени. Достаточно далеко в этой области продвинулись спецслужбы различных стран, приду- мывая анализаторы речи, которые могли бы помочь «исследователям» определить, где человек родился, какой у него родной язык, где он изу- чал иностранный язык, выявить его характерологические особенности и т.д. Совместно с фонетическим и лингвистическим такой анализ может дать информацию о возрасте человека, его социальном стату- се, образовании, текущем психоэмоциональном состоянии. Его можно использовать (и он используется) в рамках исследования человека на полиграфе, «детекторе лжи», он незаменим для поиска террористов и иностранных шпионов. Но, как и всякое оружие, такой анализ может быть направлен в любую сторону.

По пути исследования восприятия звуковых образов далеко про- двинулись и акустики — те, кто работает над акустикой музыкальных инструментов, изучает и придумывает микрофоны, усилители, акус- тические системы, занимается вопросами сжатия музыкальной ин- формации и т.д.