Все записи
МОЙ ВЫБОР 08:03  /  1.03.17

3503просмотра

Мойра и Илифия Генезиса

+T -
Поделиться:

 

Как могут помнить многие посетители этого блога, полтора года назад его автор вместе с сыном Львом завоевали приз конкурса Института Основополагающих Вопросов (FQXi.org) на тему Трюк или Истина: Таинственная связь Физики и Математики. Наше эссе, Генезис Пифагорейской Вселенной, публиковалось перед тем в серии отдельных заметок этого блога, бурно обсуждавшихся. В окончательном виде оно было недавно представлено томом издательства Springer, собравшем всех победителей конкурса. Одним из слагаемых того успеха была публичная поддержка нашего сочинения на сайте FQXi.org, повысившая градус внимания к нему, что было очень важно при нескольких сотнях участников, среди которых легко можно было затеряться. Пользуясь случаем, еще раз благодарю всех, кто дал нам тогда высокую оценку. 

Это все присказка, дорогой читатель. А сказка в том, что начался новый философский конкурс FQXi, по теме связи сознания и мышления с законами природы, "Блуждание к Цели" где мы с Левой выступаем с новым эссе, под античным названием "Мойра и Илифия Генезиса". А раз так, то нам опять очень помогли бы голоса публичной поддержки на сайте нашего сочинения http://fqxi.org/community/forum/topic/2797 , уже включившегося в борьбу за награды. Технически это очень просто: кликаете там на rate this essay, оставляете свой e-mail в графе public voters, жмете go, и ставите Вашу справедливейшую оценку: 10 (наилучшая)  :^) . Подчеркну, что важна не только поддержка сама по себе, но и ее дата: чем раньше, тем она весомее. Те, для кого чтение на английском не представляет труда, приглашаются на FQXi.org; предпочитающим же русский вариант текста таковой предлагается прямо тут.

После некоторых колебаний мы решили не переводить великолепные цитаты, нами собранные преимущественно от англоязычных авторов: мы не хотим соблазнять читателя подменой их первозданной силы переводом.   

Всем, кто проголосует, огромное спасибо! 

~~~~~~~~~  

 

ПРОБЛЕМА МЫШЛЕНИЯ

Рене Декарт, размышляя над первыми принципами познания, пришел к необходимости разделить все познаваемое на две части, одна из которых охватывает все материальное, протяженное, а другая—все мыслительное. Декарту было совершенно ясно, что познавать эти два, очень непохожих, лагеря сущностей, res extensa и res cogitans, нужно настолько по-разному, что по крайней мере в начале познания их следует разделить и рассматривать независимо, как невзаимодействующие, чтобы можно было хотя бы сдвинуться с места. Картезианский дуализм был прежде всего методологическим принципом, граничным условием, зафиксировавшим постановку задачи, так сказать, в первом приближении, как удобный или даже необходимый шаг именно начала познания. Строгое разделение на res extensa и res cogitans, взятое вместе с рядом других принципов за правило последовавшей наукой, дало плоды, превзошедшие самые смелые ожидания. Однако же, за успехом естествознания скрывалось и до сих пор скрывается принципиальное слепое пятно, унаследованное от рождения: связь мысли и материи, res cogitans и res extensa. Хотя наличие этого пятна общеизвестно, и попытки его преодоления не прекращаются со времен Декарта, снять или ослабить его, выйти за пределы картезианского граничного условия научному познанию пока не удалось и не факт, что это вообще возможно.

Огромные успехи естествознания с необходимостью ставят вопрос: а не является ли все мыслительное, res cogitans, порождением материи, res extensa, не возникла ли мысль в ходе эволюции материи в силу законов природы и игры случая? Можно ли принять такую гипотезу, как разумное допущение, или она противоречит каким-то первейшим принципам? Мысль имеет целью истину; истина, о которой идет речь, далеко превосходит задачи жизни, она космична и даже сверх-космична, всеохватна; во всяком случае, именно на такого рода мышление настраивает вопрос этого конкурса. Могла ли мысль, вышедшая в своем развитии на понимание законов природы, да еще и в гигантском размахе параметров, оказаться следствием самих этих законов? Не получилось ли так, что в самих законах и, может быть, “начальных условиях” вселенной, уже скрытым образом содержалась определенная вероятность их познания, которая, собственно, и реализовалась?

В важном смысле заблуждение много мощнее истины: вариантов ложных решений, удаления от истины, всегда много больше, чем приближений к ней. На одно-два правильных решения задачи приходится громадное число возможных ошибок, и еще больше—совершенно бессмысленных и совсем никуда не годных возможных “ответов”. А коли так, то каким же образом по воле случая могло бы само собой реализоваться мышление, как систематическое, пусть и с блужданиями, движение к истине, а не от нее? В силу законов природы? Но разве законы позволяют хотя бы ввести понятие “понимание”? Казалось бы, такая возможность исключена уже на начальном этапе строгого выноса за скобки res cogitans в науке о res extensa. На мышление в законах природы не найти и намека, в строгом соответствии с заповедью Декарта. И уж более чем нелепой кажется идея о скрытом в законах содействии не просто мышлению, но их собственному познанию, да еще и в космическом размахе и с фантастической точностью. А коли так, то рождение и развитие мышления, понимания законов, одной лишь силой случая представляется совершенно невозможным. Современная физика не могла бы тогда быть, но она, как известно, есть. Обычно контр-аргументом этим соображениям выставляется естественный отбор: движение к истине поощряется эволюционным выигрышем, содействуя выживанию и размножению. Эволюционный выигрыш, как утверждается, может быть настолько велик, что его фактор окажется сильнее, чем рассмотренный выше фактор слабости одинокой истины перед тьмой ложного. Если предположить, что мышление каким-то образом возникло (emerge) на базе жизни, то наращивание его силы может, как думают некоторые, быть понято в рамках этого дарвинистского подхода, как научной гипотезы. Вопрос, однако же, в том, насколько разумна и научна такая гипотеза. Перечислим все то, что она предлагает принять на веру. Во первых, надо согласиться со значительностью шанса самопроизвольного рождения мышления из немыслящей жизни. Во вторых, надо согласиться с величайшей силой естественного отбора в плане содействия развитию мышления, силой, превозмогающей одиночество истины перед тьмой ложного. В третьих, надо принять, что даже и в тех случаях, когда фундаментальное познание никак не поощряется улучшением условий жизни, а даже наоборот, это не останавливает движения мысли вперед. Все эти весьма сильные допущения гипотеза естественного отбора требует принять на веру без каких-либо аргументов и даже намеков на возможную научную проверку. Допустим, что этот большой и ничем не оправданный кредит этому предположению все-таки дан—но хватит ли и его для разумного принятия предположения?

Познание не только ставит вопрос о своей возможности, но и проблему своей ценности. Познание трудно, оно требует усилий жизни, жертв теми возможностями комфорта и социального успеха, которые одаренный человек мог бы получить в других сферах. Разум требует ответа на вопрос, “ради чего?” Ради любопытства относительно тайн мироздания, как это обычно пишется? Хорошо, положим, молодой человек, избирающий путь жизни, чувствует в себе такое любопытство как сильнейшую тягу, стоящую многих жертв, его вдохновляют великие достижения науки, ее интересные задачи. Но если этот молодой человек примет на веру, что то, что называется познанием природы, в конечном счете есть химия атомов мозга, подчиненная неким уравнениям и как-то ограничиваемая правилами естественного отбора—то на каком основании он может решить, что “познание природы” есть именно познание природы, а не какая-то заморочка атомов? На основании твердой веры в согласие эволюционного отбора с движением к истине? А на каком основании он мог бы принять эту догму? Разве невозможно жизненно преуспевать и при этом заблуждаться? Разве нелепые представления диких племен о природе прекратили существование этих племен? Разве великие религии, лежащие в основе цивилизаций, не признаются материалистами ложными? Разве заблуждения относительно ранней вселенной и элементарных частиц имеют значение для питания и размножения? Не следует разве этому молодому человеку, приняв во внимание сказанное, заключить, что убедившее его учение о порождении мышления законами и случаем не дает никаких оснований для веры в адекватность мышления? Согласие теории с наблюдениями тут ведь ничего не меняет: если мышление ведомо химией мозга, то и все эти согласия скорее всего иллюзорны, не имея отношения к подлинной реальности. Ценность познания требует фундаментального доверия к его подлинности, а на основе чего этот молодой человек мог бы довериться законам отбора и химии мозга? Более того, как писал биолог прошлого столетия J.B.S. Haldane, допущение порождения мышления материальными процессами приводит к самоотрицанию:

“If my mental processes are determined wholly by the motions of atoms in my brain I have no reason to suppose that my beliefs are true. They may be sound chemically, but that does not make them sound logically. And hence I have no reason for supposing my brain to be composed of atoms.” ("When I am Dead" in Possible Worlds, 1927)

Ценности познания и картина мира взаимосвязаны, порождая или разрушая друг друга. Если складывающееся представление о мире таково, что мысль оказывается дискредитированной в самой своей основе, в своем притязании на высокие истины, в адекватности, смысле и значении такого стремления, то уже в силу этого обстоятельства такая картина мира должна быть признана ложной, и вовсе не потому, что нам так хочется (wishful thinking), а потому, что она саморазрушительна; разрушая ценность познания, дискредитируя его в самой основе, она разрушает и себя [Lewis, Nagel].

Этика, с утверждаемыми ею ценностями, смыслами, святынями, должным, неразрывно связана с метафизикой, отвечающей на вопрос о том, что есть. Этика, не принятая во внимание, обернется разрушением картины мира, повисшей в собственной бессмысленности. Рассказывают, что античный критянин Эпименид утверждал, будто все критяне лжецы. Обычно эти слова Эпименида рассматриваются как логическое самоопровержение; мы намерены посмотреть на них с несколько иной стороны. Положим, что критянин утверждал не то, что критяне непременно и в обязательном порядке лгут, но что их мысли и высказывания, в силу некоего рока, всегда подчинены чему-то иному, например, выгоде, wishful thinking, прославлению Крита, любви к обману или самообману, чему угодно, но не стремлению к истине. Выслушав Эпименида, его собеседники не могли бы с определенностью заключить, каковы критяне, но зато могли бы разумно заключить, что верить Эпимениду ни в чем нельзя; он сам себя дискредитировал. Заведомый лжец может иной раз сказать и правду, но смысла искать ее в его словах не более, чем искать жемчуг на мусорных свалках. Если же Эпименид сам поверил в истину своих слов, то сказанное им превращается в акт когнитивного самоубийства: поверивший в такое тем самым выпал из познания, обесценив все, что было и будет им помыслено. Вспомнив теперь приведенное выше суждение Холдейна, нетрудно заметить, что оно раскрывает эпименидовскую структуру убеждения в движении мыслей химией атомов. В обоих случаях мы имеем одно и то же когнитивное самоубийство, дискредитирующее стремление к истине в самой его основе.

Кто-то может сказать, что его личные ценности, любовь к истине настолько сильны, что вполне могут смириться с “атомами мозга” и подобными, недружественными этой любви представлениями. Но что бы такое признание означало? Разве не то, что человек приравнивает жажду познания, познания на космических масштабах, к некоей страсти, чей смысл и стоящая за ней реальность ему не важны? Если же нам снова скажут, что адекватность представлений гарантирована согласием теории и эксперимента, то мы не сможем согласиться: как знать, что стоит за таким согласием? Не стоит ли за ним какой-то сон, Матрица, Компьютерная Симуляция, Boltzmann Brain или демон Декарта? Как знать? А ведь если допустить такие возможности, то не превратится ли в этот же момент наша прекрасная научная карета в обыкновенную тыкву, с соответствующими выводами относительно планов путешествий? Ведь не может нам быть все равно, ездим ли мы в самом деле в замечательной карете по странам и континентам, составляя глубокомысленные заметки об интереснейшем путешествии, или нам это лишь кажется, а на деле мы безумно прыгаем на тыкве, в одиночестве или среди таких же умалишенных. Декарт, хорошо видевший этот коренной вопрос, пришел к заключению о необходимости доверия мысли в ее основе как условии познания. Сам я нередко ошибаюсь, писал Декарт, но мысль не должна быть обречена на заблуждения или тупики; всякая моя ошибка должна оставлять за мной, или за теми, кто мое мышление продолжит, возможность коррекции. В противном случае это бы означало, что либо сам Бог решил нас обмануть, либо ему все равно, и он бросил нас в нашем плачевном состоянии фатальных заблуждений и тупиков. Осознав себя в этой драматичной ситуации, Декарт увидел лишь единственный выход: фундаментальное доверие Богу. Бог не обманщик — вот символ веры Декарта, той веры, что делала возможным высокий смысл познания, избавляя от обессиливающего гнета демонов тотального метафизического скепсиса. Бог не обманщик, повторял Декарт спасительную формулу снова и снова, так часто, как никакой иной тезис в отношении Создателя. Другой великий физик, живший гораздо ближе к нам, и тоже чуткий к большим философским вопросам, Альберт Эйнштейн, нашел свои слова для этого же кредо: Subtle is the Lord, but malicious He is not, искусен Господь, но не злонамерен. Само это кредо никак из науки не вытекает; напротив, оно есть условие осмысленности научного познания. Так или иначе веру в первичность мышления выражали великие физики прошлого века Planck, Schrodinger, Bohr, Jeans, Heisenberg, Pauli, De Broglie, Eddington. Подчеркивая двойную связь науки и веры, Эйнштейн и говорил, что религия без науки слепа, наука же без религии хрома.

Авторам этого эссе представляется ясным, что гипотеза о самопроизвольном происхождении мышления из материи должна быть отвергнута, и не в силу даже своей научной слабости и нефальсифицируемости (хотя и то, и другое справедливо),  но в силу своего эпименидовского характера, как предложение когнитивного самоубийства. Что же тогда нам остается заключить относительно слепого пятна картезианского дуализма, загадочной связи мысли и материи? Как такая связь вообще возможна? Мы попытались показать, каким решение этой проблемы не может быть. Холдейновские “атомы мозга”, Матрица, мир как симуляция, Boltzmann Brain, полный скептицизм— все эти предложения противоречат самой основе познания, уничтожая его ценность. Ни одно из них не может быть отвергнуто (как и принято) на основе фактов; они все метафизичны, научно не фальсифицируемы. Отчего такие картины нередко принимаются, мы оставим судить читателю; отвергнутой же любая из них может быть лишь актом свободной воли, верой в высший исток познания, в то, что Бог не обманывает, что subtle is the Lord, but malicious He is not.

Означает ли, однако, сказанное, что создавший материю и давший начало мышлению детально задает на каждом шагу мотивации, цели и ценности, водя нас как малых детей? Или у нас есть некая свобода в установлении целей? Каким образом ценности познания и творчества, независимых от житейских благ и даже нередко вопреки им, могли бы войти в мир? Дальнейшая часть статьи посвящена именно этому вопросу.

 

ПРОБЛЕМА ЦЕННОСТЕЙ

Законы природы выражаются математически; это убеждение основоположников физики история науки не просто подтверждает, но даже unreasonably подтверждает [Wigner, GPU]. Галилею и Декарту, верившим в математичность природы, представлялось ясным, что есть математика: под таковой они понимали мышление, устроенное по образцу геометрии Евклида, с непротиворечивыми аксиомами и логически выводимыми из них недвусмысленными теоремами. Позже подобного рода структуры получили название формальных систем.

С объективной точки зрения одна формальная система представляется ничем не лучше и не хуже другой; ни математика, ни объективное мышление вообще не знает категорий “лучше” или “хуже”, их содержание ценностно нейтрально. Стоит, однако же, приглядеться к этой нейтральности повнимательнее: не иллюзорна ли она? Не поверхностно ли заключение о ней? Ценности далеко не всегда себя заявляют открыто и непосредственно; более того, нередко их сила и власть требуют как раз сокровенности, прикрытия или полу-прикрытия.

Будь формальные системы совсем уж ценностно нейтральны, что вообще увлекало бы в них пытливые умы? Любопытство? Но человеческое любопытство имеет бесконечное число приложений; чем же чисто умозрительные, бесчувственные и бесстрастные формальные системы могут быть особенно выигрышны по сравнению с другими предметами внимания любознательного человека, более связанными с его чувственной натурой и стремлением к социальному успеху? И даже если они по какой-то причине все же становятся интересны, то что заставляет математика посвящать свою жизнь лишь очень немногим из них, забывая о бесконечности всех остальных? Математики, решающиеся отвечать на такие вопросы, всегда говорят о красоте.

“It may be very hard to define mathematical beauty, but that is just as true of beauty of any kind,”

пишет выдающийся английский математик прошлого столетия G.H. Hardy in his “A Mathematician's Apology”. Математическая красота не слишком поддается дефинициям, но именно ее ищет математик, лишь она и ценна:

“A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas... The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics…What we do may be small, but it has a certain character of permanence…”

Заметим, что Харди нимало не сомневается в красоте как именно в вечной ценности математики; пройдут тысячи или миллионы лет, изменится все, что угодно, но математику может спасти от забвения лишь ее красота. В поиске особенной красоты, красоты идейных узоров, она и состоит, как он поясняет. Не следует думать, что эта эстетическая дефиниция математики есть личная причуда Харди: ту же самую мысль так или иначе высказывали многие крупные математики, и никто из таковых ее, кажется, не отрицал. Но ведь красота, как принято считать, и не без оснований, весьма субъективна, отражая предрассудки эпохи, поветрия моды, прихоти вкуса, особенности индивидуального характера и национальной культуры. А коли так, то не странную ли вещь сказал Харди об универсальном вечном значении особенной математической красоты? Каким образом представления о математической красоте, принадлежи они Евклиду, Гауссу или Харди, могут претендовать на вечность, на permanent place in the world? Не подвела ли выдающегося математика излишняя самоуверенность, когда он писал эти строки? Харди не берется доказывать сказанное— да ведь он и предупредил нас, что, когда речь заходит о красоте, на строгие доказательства рассчитывать не следует. Поясняя свое убеждение на примерах, он приводит две античных теоремы, сияющих вечной красотой: “теорему Пифагора” о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной и “теорему Евклида” о бесконечности простых чисел. Красота этих теорем, совершенно бесполезных практически, восхищала математиков всех эпох, побуждая передавать их следующим поколениям как великолепные алмазы и жемчуга. Заметим, что со времени выхода “Апологии Математика” в 1940 году никто из математиков не взялся оспаривать смелые суждения Харди о красоте и вечности; цитировались они часто, и всегда, насколько нам известно, как нечто, не подлежащее сомнению.

Отмечая невозможность определить математическую красоту, Харди стремится не упустить ничего из того, что о ней можно было бы сказать. Говоря о красоте “теоремы Пифагора” и “теоремы Евклида”, он отмечает то, что можно было бы назвать их особым драматизмом:

“In both theorems (and in the theorems, of course, I include the proofs) there is a very high degree of unexpectedness, combined with inevitability and economy.”

Более же всего он уделяет внимание такому проявлению красоты, которое он называет ‘серьезностью’:

"The beauty of a mathematical theorem depends a great deal on its seriousness… The ‘seriousness’ of a mathematical theorem lies, not in its practical consequences, which are usually negligible, but in the significance of the mathematical ideas which it connects. We may say, roughly, that a mathematical idea is ‘significant’ if it can be connected, in a natural and illuminating way, with a large complex of other mathematical ideas. Thus a serious mathematical theorem, a theorem which connects significant ideas, is likely to lead to important advances in mathematics itself and even in other sciences.”

На некоторый взгляд, математика может представиться не более чем набором никак не связанных идейных конструкций, формальных систем, объединенных лишь требованием формальности, но не существом содержания. Нельзя сказать, что это совсем не так, но красота ‘серьезных’ математических идей указывает на поверхностный характер такого представления, обнаруживая скрытое содержательное единство математики. Переживание красоты ‘серьезной’ теоремы дарит математику особую радость созерцания раскрывающегося единства разума. Вот как об этом на склоне лет писал Jean Dieudonne, выдающийся математик и историк математики, бывший долгое время спикером группы Bourbaki:

“...for certain problems which can be stated in perfectly elementary terms, especially imaginative mathematicians have managed to obtain partial or complete solutions by bringing in concepts or techniques drawn from analysis which seem to have nothing to do with the question in hand. I can hardly do more than allude to these methods, which amaze mathematicians, making them feel the profound and often mysterious unity of mathematics, and in speaking of which they do not hesitate to use the term ‘beauty’.” (Mathematics—The Music of Reason, 1987)

Спросим себя: отчего же обнаружение ‘серьезности’ теоремы, знаменующей скрытое единство математики, так волнует математиков? Почему всякий намек на это единство оказывается так важен, воспринимаясь как нечто прекрасное? Не движет ли математиком в его поиске особое стремление к мистическому единству, стремление увидеть за частным и множественным сверхмощное невыразимо прекрасное Единое, всеблагой исток Бытия? Не то же ли самое стремление движет и физику в ее поиске Theory of Everything? Не случайно, надо полагать, величайшие математики и физики прошлого были по преимуществу мистиками.

“It seems plain and self-evident, yet it needs to be said: the isolated knowledge obtained by a group of specialists in a narrow field has in itself no value whatsoever, but only in its synthesis with all the rest of knowledge and only inasmuch as it really contributes in this synthesis toward answering the demand, ‘Who are we?’ ” (E. Schrodinger, “Science and Humanism”, 1951)

Мистик, заметим, может быть и “атеистом”, как например, тот же Харди, восхищенно созерцавший и описывавший вечную красоту платоновского мира математики:

“I believe that mathematical reality lies outside us, that our function is to discover or observe it, and that the theorems which we prove, and which we describe grandiloquently as our ‘creations’, are simply our notes of our observations. This view has been held, in one form or another, by many philosophers of high reputation from Plato onwards, and I shall use the language which is natural to a man who holds it.”

Не было ли воинствующее антихристианство Харди вызвано именно религиозной ревностью его платоновского мистицизма, нетерпимым для него столкновением с иным типом религиозного опыта?

Оставим, однако, в стороне этот уже слишком личный вопрос и зададимся более общим, к которому подводит нас это исследование: не может ли так оказаться, что само переживание математической красоты и мистического единства математики есть лишь следствие особенностей психики определенного типа людей, особенностей, оказавшихся весьма содействующими познанию? Не является ли математическая красота скорее свойством особой психики и биологии, чем математики самой по себе? Можно ли доказательно разрешить такой вопрос? Не забывая предупреждение Харди о неуместности доказательств в вопросах красоты, поищем, пусть и не доказательные, но разумные аргументы. Для начала, примем во внимание саму интенцию, порождающую это особое мышление: по своему замыслу, математика предельно отделена от всего не только специально-человеческого, но и специально-природного; она строится как произведение чистого абстрактного разума, разума самого по себе. Именно благодаря такой отделенности, строгой, даже вызывающей, независимости от человека и природы, были открыты и изучались такие математические сущности, как комплексные числа или неевклидовы пространства. Признать, что красота даже этих объектов, предельно отделенных от всего специально-человеческого, и специально-природного, все же специально-человечна и природна, значило бы заключить о невозможности выхода человеческой мысли за пределы особой психики и биологии рода homo и предрассудков, навязанных окружающей его природой, пусть отчасти и sapience. Такое признание означало бы заключение о безнадежности дерзновенного проекта выхода к разуму самому по себе, к иллюзорности всех, даже самых впечатляющих успехов на этом пути. Для тех, кто поверил бы в такое поражение, математика потеряла бы всякий самостоятельный интерес, оставшись разве что полезным инструментом, не более того. Вспомним, что великие математические открытия почти никогда не совершались с инструментальной, прикладной целью; двигали математику те, кто любили ее не ради чего-то еще, пусть важного и хорошего, но ради нее самой, ее вечной сверх-человеческой красоты. Прислушаемся к еще одному большому математику и философу прошлого столетия, Бертрану Расселу:

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry. (The Study of Mathematics, 1903)

Обратим внимание, что Рассел подчеркивает именно ту ценность математики, о которой идет речь: будучи строго, холодно отстраненной от our weaker nature, она вдохновляет сопричастностью к stern perfection, острым чувством of being more than Man. Особая сверх-человеческая эстетика— вот исток математического вдохновения, описываемого Расселом. Отказавший математике в истине этой веры закрыл бы к ней дверь; она может открыться лишь тем, кто разделяет ее веру, неотделимую от восхищения ей. Вера в сверх-человечность математики, таким образом, в существенном смысле неотделима от самой математики, от ее раскрытия, как в культуре, так и для отдельной личности. Ценить математику и отказывать ее вере в истинности— противоречить самому себе.

Приведенная цитата Рассела о внутренней ценности математики интересна не только как суждение выдающегося математика и проницательного философа; у нее есть и еще одна замечательная особенность: именно это высказывание Eugene Wigner поставил вторым эпиграфом к своей статье “Unreasonable Effectiveness of Mathematics in Natural Science” 1960 года. В первом издании текста ему предшествовал эпиграф:

“and it is probable that there is some secret here which remains to be discovered.” (C.S. Peirce)

В последующих изданиях Вигнер заменил этот сдержанно-загадочный эпиграф на один из самых восторженных и глубоких гимнов математической красоте, процитированный выше. Статья Вигнера, получившего в 1963 году Нобелевскую премию за революционные работы по симметрии и применению математической теории групп в квантовой физике, фокусирует внимание на ином, дополнительном к до сих пор обсуждавшемуся, аспекте математической красоты. А именно, Вигнер демонстрирует удивительную, ниоткуда не следующую, “unreasonable” эффективность математики в физике вообще и фундаментальной физике в особенности. Некоторыми авторами удивление Вигнера понимается, как плод заблуждения, как удивление всего лишь над тем, что законы природы можно выразить средствами математики, подыскав какие-то подходящие формулы. Ничего особо удивительного или unreasonable тут вообще-то нет, разъясняют подобные авторы (see e.g. [Grattan]), математика и была создана для того, чтобы все считать, а коли уж физика переводит данные в числа, то вот математика и оказывается эффективной; что заложили, то и получили, и нечего мистифицировать попусту. Заблуждается тут, однако же, не один из основоположников квантовой физики Вигнер, а критикующий его видный историк математики Grattan-Guinness.

Во-первых, законы обладают особой математической красотой, соединяя в себе формальную простоту, богатство решений и тот или иной тип симметрии, нередко как бы напрашивающийся на гипотезу ума, одаренного интуицией. Эту особую красоту иногда называют элегантностью законов. Как видно из ее описания, элегантность имеет решающее значение для рождения гипотезы, что есть самая таинственная и самая важная часть открытия. Во-вторых, одна и та же элегантная математическая форма закона охватывает громадный диапазон параметров (расстояний, времен, энергий, и т. д.), и притом с фантастической точностью, доходящей до дюжины десятичных знаков [Penrose1]. Это свойство законов можно назвать универсальностью. И наконец, законы оказались дружественны к жизни, появившейся и развившейся до интеллекта по крайней мере на одной из планет вселенной; следуя установившейся терминологии, это их свойство можно назвать антропностью. Таким образом, законы одновременно элегантны, универсальны и антропны. Совместное присутствие этих качеств и дало возможность их открытия выдающимися умами. Именно поэтому наиболее подходящим термином, объединяющим все перечисленные качества законов, нам представляется познаваемость (discoverability). Вселенную, чьи законы удовлетворяют the Discoverability Principle of being elegant, universal and anthropic, мы предложили назвать пифагорейской [GPU]. Возможно, что фундаментальные законы нашей вселенной составляют самый простой набор из совместимых с принципом познаваемости. Единственное из имевшихся до сих пор объяснений этого свойства законов— то, что они исходят от высшего разума, создавшего нашу вселенную не только обитаемой разумными существами, но и космически постигаемой ими [GPU].

Роджеру Пенроузу принадлежит великолепный графический образ Трисфериона Бытия, парадоксально соединенных “трех миров, трех тайн”: платонова мира форм, физического мира и мира ментального [Penrose2]. Объединяя миры Пенроуза с мирами Поппера [Popper], представляется разумным понимать ментальный мир Пенроуза как единство индивидуального и коллективного, попперовских миров Two and Three, рождающего новое и транслирующего установившееся. Не возьмемся здесь судить, входит ли что-нибудь, кроме математики, в платоновский мир идей; для целей настоящего эссе это не столь важно. Важно, однако, то, что математика существенным образом входит в каждый из трех миров. Красивые, ‘серьезные’, математические идеи указывают на единство разума, в особой степени реализуют это единство, чем определяется их аристократический статус в платоновском мире. Красота математики вдохновляет тех, кто чуток к ее зову, обращая их к ее созерцанию, к поиску ее новых воплощений и к передаче драгоценного опыта ученикам: так математика входит в обе составляющих ментального мира. И наконец, именно прекрасные, discoverable математические формы входят в физический мир как его фундаментальные законы, обусловливая тем самым космическое познание, с драматизмом его собственной эстетики. Таким образом, математика, именно через прекрасное в себе, соединяет “три мира, три тайны” в единое, оказываясь их универсалией, чье значение неотделимо и немыслимо вне красоты.

Итак, видеть в математике всего лишь набор всевозможных ценностно-нейтральных формальных систем [Tegmark] не лучше, чем видеть в скульптуре лишь набор всевозможных изделий из твердых материалов, не лучше, чем определять человека, согласно античному анекдоту, двуногим существом без перьев. Как из каменности не заключить о сущности скульптуры, из телесности—что человек есть ментальность или дух, так же из формальности математики, лишь из ее материала, не вывести ее онтологической сущности, не разглядеть, что по существу она есть универсальная красота миров. Силой красоты и соединяется существующее с вызываемым к бытию, бытие с ценностью и интенцией. Нет, Творец не водит человека за руку, но увлекает на поиски новой красоты. Необходимость может быть выражена в ясных и отчетливых суждениях; красота же дышит свободой, а потому сетью разума не уловима. Вечная красота зовет к новым воплощениям; открываясь созерцанию, она влечет к рождению в ней, никогда не обещая, но иногда даря надежду. Как учила Сократа мудрая Диотима [Symposium], Μοῖρα οὖν καὶ Εἰλείθυια  Καλλονή ἐστι τῇ γενέσειКрасота есть Мойра и Илифия рождения.   

~~~

[Haldane]: J.B.S. Haldane, Possible Worlds, and Other Essays (1927).

[Lewis]: C.S. Lewis, Miracles (1960).

[Plantinga]: A. Plantinga, Warrant and Proper Function (1993).

[Nagel]: T. Nagel, Mind and Cosmos: Why the Materialist Neo-Darwinian Conception of Nature Is Almost Certainly False (2012).

[Meditations]: R. Descartes, Meditations on First Philosophy (1641).

[Punin]: P. M. Punin, A Defense of Scientific Platonism without Metaphysical Presuppositions, http://fqxi.org/community/forum/topic/2356

[Wigner]: E. Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,  Comm. on Pure and Appl. Math. 13, p. 1 (1960) https://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html .

[GPU]: A. Burov and L. Burov, Genesis of a Pythagorean Universe, in “Trick or Truth? The Mysterious Connection Between Physics and Mathematics” (2016) https://www.academia.edu/27987379/Genesis_of_a_Pythagorean_Universe_in_Trick_or_Truth_Springer_2016 .

[Hardy]: G.H. Hardy, A Mathematician's Apology (1940).

[Dieudonne]: J. Dieudonne, Mathematics - The Music of Reason (1998).

[Wilber]: K. Wilber, ed., Quantum Questions: Mystical Writings of the World’s Great Physicists (2011).[Kopeikin]: K. Kopeikin, What Is Reality? Contemplations on Works of Erwin Schrodinger (2014) (in Russian).

[Grattan]: I. Grattan-Guinness, Solving Wigner's Mystery: The Reasonable (Though Perhaps Limited) Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, The Mathematical Intelligencer, Vol. 3, Number 3, pp 7-17 (2008).

[Barrow]: J.D. Barrow, F.J. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle (1988).

[Tsvelik]: A. Tsvelik, Life in the Impossible World (2012) (in Russian).

[Penrose1]: R. Penrose, Mathematics, the mind, and the physical world, in J. Polkinghorne, ed.,  Meaning in Mathematics (2011).[Penrose2]: R. Penrose, The Road to Reality (2004), p. 20.

[Popper]: K. Popper, Three Worlds, (1978) http://tannerlectures.utah.edu/_documents/a-to-z/p/popper80.pdf .

[Erdos]: B. Schechter, My Brain Is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdos (1998).

[Tegmark]: M. Tegmark, The Mathematical Universe, Foundations of Physics 38 (2), p. 101 (2007), also in Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality (2014).

[Symposium]: Plato, Symposium (206d)

Теги: fqxi.org
Комментировать Всего 45 комментариев

Борис Цейтлин Комментарий удален автором

A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns.

Так все-таки making или discovering, Алеша? Придираюсь, но этот нюанс цитаты из Харди важен, полагаю.

Эту реплику поддерживают: Алексей Буров

изготовляют или наблюдают?

Миша, здорово, что ты заметил эту любопытную двойственность Харди. Будучи ограниченными размерами статьи, мы вынуждены были лишь оставить это противоречие без комментариев. Харди утверждает сначала одно (изготовляет), а потом, как бы опровергая себя, говорит, что наблюдает: "which we describe grandiloquently as our ‘creations’, are simply our notes of our observations". Более об этом противоречии он ничего не пишет, и не пишет, зачем вообще понадобилось утверждать, что изготовляет, чтобы потом от этого отказываться. Недавно мне попалась цитата одного из крупнейших современных математиков Эндрю Вайлса, доказавшего Великую теорему Ферма. Он говорит, что математики обычно видят свое дело как описание существующей реальности. И ни у одного крупного математика я не встречал отказа от этого платонизма. Вместе с тем, полагаю, многие математики согласились бы и с первым тезисом Харди, что свои узоры они изготовляют. Видимо, опыт математика сразу свидетельствует о справедливости обоих утверждений, при всем их противоречии, и философствующей публике предоставляется замечательная возможность развязывать этот узелок.  

Эту реплику поддерживают: Михаил Аркадьев

Желаю успеха вашему эссе :)

И хорошего обсуждения в FXQi :)

(Наивно надеюсь, что, может быть, кто-то из "свежей" аудитории найдет аргументы, которые Вы не отметете с порога.)

Спасибо на добром слове, Анна. 

Эту реплику поддерживают: Анна Квиринг

Зная, что справедливость для тебя превыше самой дружбы, Алеша, принимаю как должное и заслуженное! :^)

Именно благодаря такой отделенности, строгой, даже вызывающей, независимости от человека и природы, были открыты и изучались такие математические сущности, как комплексные числа или неевклидовы простр

Не уверен, что Гаусс безусловно согласился бы с этим утверждением, Алеша. Он вел первые расчеты.  насколько я помню, в процессе своих вполне конкретных полевых геодезических исследований (проблема внутренней геометрии поверхности).

Также в твоем контексте интересно, полагаю, следующее, на первый взгляд не столь существенное замечание М.Клайна : "Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна.

По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в. 

Миша, Лобачевский, в отличие от Гаусса, не связывал свое исследование с полевыми исследованиями. Криволинейные многомерные пространства исследовались математиками раньше, чем физикам пришло это в голову. То же самое справедливо о комплексных числах: они были именно мнимыми, вопиюще противоречащими здравому смыслу в течение примерно трех веков, покуда не нашли способа их со здравым смыслом как-то примирить. 

Однако, кажется, именно Гаусса Эйнштейн считал для себя важнейшей математической фигурой, а не Лобаческого? Я просто обращаю внимания на нюансы, имеющее отношение к обсуждаемой. проблеме. Статью вашу сразу поддержал высшим баллом, хотя она мне кажется несколько слабее первой. 

Миша, спасибо за поддержку. Речь идет о свободе и границах математического мышления, а не о том, кого на какую позицию ставил Эйнштейн. Когда Эйнштейну понадобилась дифференциальная геометрия многомерного искривленного пространства, он нашел ее в готовом виде у Римана, к слову сказать. 

Ну, это я мог бы и сам тебе рассказать :))

Прекрасно! Тогда не вижу, в чем возражение.

Почему возражение? Нюансировка. Хм..странно, что нужно объяснять. 

Если ты хотел указать на обратные случаи, когда физика или даже практика выводили математику на новые постановки задач, то такое бывало, конечно, спору нет. Но ведущей линией математики, начиная с греческой античности, был именно вызов практицизму и его здравому смыслу.

Несомненно, так, тут полностью всеми конечностями поддерживаю.. У меня вызывают сомнения, как всегда,твои эстетико-этические аргументы возведенные в онтологический статус. Мне тут видится некий circulus vituosis. Когда-нибудь сформулирую точнее.  

Не вижу, где здесь мог бы быть circulus vitiosus. Circulus есть, но он bonum :) 

Логический круг  заключется в том, что в своих основных посылках ты уже  ПРЕД---ПОЛАГАЕШЬ  то, что потом доказываешь. И это тезис о красоте. Красота математики тобой (и многим другими) переживается и является мощным , даже уникальным вдохновителем, но до сих пор не совсем понятно, как отвести аргумент о субъективности, даже если закрыть глаза на все человеческие различия и оценки, и понимать под этим субъективность общечеловеческую.  

Твои аргументы о математической красоте расширяют сферу личного субъективного до субъективности человечества, что вполне законно, если оговорено явно. Но происходит скачок, когда эта красота вдруг оказывается независимой от человеческого сознания вообще.  Подчеркиваю,  сейчас я не говорю о проблеме существования платоновского мира форм, а только о проблеме его красоты и элегантности. Как только ты совершаешь скачок от человеческой субъективности к независимости от человека красоты форм, происходит (чисто формально, технически так сказать) мифологизация, гипостазирование.  

Как твой личный экзистенциальный выбор, или выбор гипотетического мирового сообщества пифагорейцев это понятно. Но тогда будет более убедительно и честно, если при этом подчеркивать: таков мой личный риск, мой выбор, совпадающий с личным выбором и риском моих предшественников и некоторых современников, на том стою, и не могу иначе.

Этот вопрос мною вообще-то разбирается, Миша: 

"Не забывая предупреждение Харди о неуместности доказательств в вопросах красоты, поищем, пусть и не доказательные, но разумные аргументы. Для начала, примем во внимание саму интенцию, порождающую это особое мышление: по своему замыслу, математика предельно отделена от всего не только специально-человеческого, но и специально-природного; она строится как произведение чистого абстрактного разума, разума самого по себе. Именно благодаря такой отделенности, строгой, даже вызывающей, независимости от человека и природы, были открыты и изучались такие математические сущности, как комплексные числа или неевклидовы пространства. Признать, что красота даже этих объектов, предельно отделенных от всего специально-человеческого, и специально-природного, все же специально-человечна и природна, значило бы заключить о невозможности выхода человеческой мысли за пределы особой психики и биологии рода homo и предрассудков, навязанных окружающей его природой. Такое признание означало бы заключение о безнадежности дерзновенного проекта выхода к разуму самому по себе, к иллюзорности всех, даже самых впечатляющих успехов на этом пути. Для тех, кто поверил бы в такое поражение, математика потеряла бы всякий самостоятельный интерес, оставшись разве что полезным инструментом, не более того. Вспомним, что великие математические открытия почти никогда не совершались с инструментальной, прикладной целью; двигали математику те, кто любили ее не ради чего-то еще, пусть важного и хорошего, но ради нее самой, ее вечной сверх-человеческой красоты. Прислушаемся к еще одному большому математику и философу прошлого столетия, Бертрану Расселу:

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry. (The Study of Mathematics, 1903)

Обратим внимание, что Рассел подчеркивает именно ту ценность математики, о которой идет речь: будучи строго, холодно отстраненной от our weaker nature, она вдохновляет сопричастностью к stern perfection, острым чувством of being more than Man. Особая сверх-человеческая эстетика— вот исток математического вдохновения, описываемого Расселом. Отказавший математике в истине этой веры закрыл бы к ней дверь; она может открыться лишь тем, кто разделяет ее веру, неотделимую от восхищения ей. Вера в сверх-человечность математики, таким образом, в существенном смысле неотделима от самой математики, от ее раскрытия, как в культуре, так и для отдельной личности. Ценить математику и отказывать ее вере в истинности— противоречить самому себе."

Да, я отлично помню твой текст, Алеша. Это все так, и это говорит о том самом экзистенциальном риске, о котором упомянул я.

Вера в сверхчеловечность математики не есть нечто такое, что может быть избрано или отвергнуто безотносительно к предельно серьезным занятиям математикой. Эта вера неотрывна от самой математики, утративший ее утратит и выход на высшие этажи математики. В этом смысле выбора веры нет. 

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik

Это только подчеркивает радикальность экзистенциального выбора именно как выбора. Вход на высшие этажи математики, как и любого дуругого искусства, связан, таким образом с некоей, полагаю, скрытой от чужих глаз индивидуальной инициацией.  Попытки объективировать эти интимные процессы на мой взгляд грешат гипостазированием, о чем  я неоднократно говорил. Для такого рода высоких мифологизаций больше всего  годится язык поэзии. 

На этом уровне, о котором здесь речь, уже нет разделения на объективное и субъективное. Для нас достаточным было показать неотрывность веры в сверхчеловечность математики от самой математики. Я полагаю этот тезис небанальным и важным. Если кто-то потом изложит его поэтичнее нас— флаг в руки. 

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik

На этом уровне, о котором здесь речь, уже нет разделения на объективное и субъективное.

Это очень обязывающее утверждение, Алеша. Что оно должно значить? Что реальность, о которой идет речь субъект-объектна? Или что здесь вообще нет ни субъекта, ни объекта? Уточни.  

Миша, не вижу, что тут уточнять. Одна и та же мысль высказана мною уже неоднократно, и с цитатами, и в виде короткого вывода.

Не видишь. Точное описание ситуации. 

В слабости ли моего зрения тут дело, или в заложенности чьих-то ушей, кто его знает? 

Ты не  ответил на поставленные вопросы. Элементарно пасуешь. Все остальное - прикрытие.   

Есть темы, не допускающие футбольного настроя.

пасовать1. несов. неперех. разг.1) Заявлять пас (4*1).2) перен. Отказываться от дальнейших усилий что-л. сделать, признавая себя бессильнымсдаваться.

Вот это и есть тот самый неуместный тон.

Это интеллекутальная капитуляция, сопровождаемая старой как мир уловкой в споре. На вопросы (их 4 и все по существу, плюс одно утверждение о разрыве, которое тебе следовало бы аргументировано оспорить) ответы тобой не даны. Тон у меня предельно корректен. ОК, Алеша, варись в собственном соку. Твой выбор. 

Капитулировать могут лишь ведущие войну или поединок. Ни то, ни другое мне здесь не интересно. 

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik

Для нас достаточным было показать неотрывность веры в сверхчеловечность математики от самой математики.

Вера в любом случае есть субъективное человеческое состояние, не так ли? Каким образом можно говорть о неотрывности веры от математики, если математика в твоем же описании претендует на независимость от всего  человеческого?  Неотрывность, значит неотрывность. Но если это разные по онтологическому статусу вещи, значит разрыв имеет место быть, и принципиально, онтологически.  

Миша, как тебе хорошо известно, заниматься музыкой, не обладая слухом, нельзя. Такого же рода качество, своего рода чутье необходимо для занятия математикой. Человек, который доверяется этому чутью, может достигнуть вершин. Тот, кто ему не доверяет, скорее всего ничего не сделает. 

Несомненно так, Лёша, разве я утверждал обратное? Ты это к чему ? Как это связано с проблемами, которые отказался обсуждать автор блога, не ответив ни на один из поставленных мной в последних моих сообщениях вопросов? 

Я запутался в твоих вопросах, Миша.

Миша, на самом деле можно привести множество примеров, помимо мнимых чисел. Вот, например, Грассмановы числа, где произведение таких чисел меняет знак при смене порядка сомножителей. Пригодились через почти 100 лет после того, как Грассманн их ввел. Или кватернионы, предложенные, кажется, Гамильтоном в начале 19 века и оказавшиеся незаменимыми в физике 20го. Все это были математические изобретения, оказавшиеся открытиями постольку, поскольку они замечательно описывают математическую структуру законов природы.

Эту реплику поддерживают: Михаил Аркадьев, Алексей Буров

Успешное применение оных в теории поля и в квантовой механике ни способствует примирению с ними здравого смысла. Эффективность и мыслимость - вещи все-таки разные. Физика и замечательна тем, что первой она может достичь без оглядки на вторую!

Мнимые числа были несколько примирены со здравым смыслом, когда стали пониматься как комплексы, упорядоченные пары чисел. Ваш тезис, Борис, о несовпадении эффективности и мыслимости, я бы сформулировал как вызов старой и общей мыслимости здравого смысла, бросаемый новой и особенной математической мыслимостью. Этот вызов был брошен уже греческой математикой, и весьма усилен ее новоевропейским развитием, которому ее применение в фундаментальной физике придало еще большую странность, добавив к чуду жизни и сознания еще одно.   

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik

О сверхчеловечности и сверхприродности математики

Объективность математики и ее независимость от данных о природе раскрылась уже ранним пифагорейцам, а м.б. и самому Пифагору, когда выяснилось, что корень квадратный из двух не может быть в точности представлен никакой рациональной дробью. Это открытие, тоже называемое иногда теоремой Пифагора (не путать с геометрической теоремой о штанах), было не только ими не желаемо, напротив, оно явилось чрезвычайно неприятным известием, подрывавшим веру пифагорейцев что "вещи суть числа", и потребовавшим от них громадных и довольно болезненных усилий по реформации учения. Такой шок может произвести лишь суровая реальность. 

Эту реплику поддерживают: Alexei Tsvelik