На смерть Бенуа Мандельброта, создателя теории фракталов

Не стало математика, который открыл науке гармонию хаоса

Иллюстрация: www.shiftedreality.com
Иллюстрация: www.shiftedreality.com
+T -
Поделиться:

«Черный лебедь» Насима Талеба, скандальная книга про сюрпризы экономики, посвящена «Бенуа Мандельброту, греку среди римлян». Римляне поклонялись идее порядка, греки — хтоническим божествам, обаянию бесформенной мощи, живущей по своим запредельным правилам. Именно эти правила, закономерности «эллин» Мандельброт, теоретик беспорядка, и нащупал в реальном мире, который нас окружает. На прошлой неделе его не стало — и это повод отдать ему дань уважения. Благодаря ему последние 30 лет мы смотрим на деревья и города, капусту брокколи и обвал фондового рынка другими глазами.

Фото: GettyImages/Fotobank
Фото: GettyImages/Fotobank
Бенуа Мандельброт

У каждого времени — своя научная теория, которая выбивает у здравого смысла почву из-под ног. В 70-е, когда мир уже смирился с парадоксами теории относительности и квантовой механики, фрактальная теория Мандельброта приняла у них эстафету. С подачи Мандельброта наука открыла для себя хаос. Внезапно оказалось, что беспорядок тоже подчиняется строгим законам, которые противоречат нашей интуиции. (Если на круглую сковородку с кипящим маслом насыпать железные опилки, вовсе не очевидно, что на ней сами собой вырастут шестиугольные соты, а это рядовой эффект теории хаоса.)

Что такое фракталы и почему вокруг них столько шума? Это фигуры, у которых каждая малая часть под микроскопом не уступает в сложности целому, а часто и повторяет его. Мандельброт придумал самую простую и эффектную из таких фигур: фрактал Мандельброта — решение уравнения, в котором может разобраться и школьник.

Этот фрактал можно изобразить вот так:

Главная же заслуга Мандельброта в другом: он взял на себя смелость оглядеться по сторонам и обнаружить такие структуры повсюду. Фракталы — это видимый образ процессов, где за ничтожными событиями следуют чудовищные последствия. «Враг вступает в город, пленных не щадя, оттого что в кузнице не было гвоздя». Одна песчинка заставляет осыпаться гору песка, но эффект от двух песчинок будет ровно таким же — это и есть нелинейность. А перед осыпанием из песка складывается фрактальный узор (это показали уже последователи Мандельброта — Бак, Тан и Визенфельд), и по узору можно догадаться, что будет дальше. Заменяя песчинку на доллар, получим теорию финансового кризиса в версии Талеба. Этот один доллар, не заплаченный вовремя, вызывает цепную реакцию неплатежей и коллапс кредитной системы.

Сам Мандельброт признавался, что идея фрактала выросла из детского вопроса, которым он, рядовой сотрудник IBM, задался в 60-е: как узнать длину береговой линии Британии? Можно, конечно, взять карту и измерить границу лекалом. Но уже на спутниковом снимке видны изломы и мелкие бухты, которые карта не учитывает, — а если их учесть, цифра вырастет на сотни километров. С высоты птичьего полета заметно, что в каждой бухте свои изломы и изгибы. С каждым приближением появляются новые детали, за счет которых результат все растет и растет. Образцовые фракталы — это, к примеру, ель (у которой каждая ветвь повторяет в миниатюре все дерево), снежинка, сеть кровеносных сосудов, город со своими автодорогами и миллионы других вещей, которые маячат перед глазами у каждого. Мандельброт открыл то, что всегда было у всех на виду. А такие открытия — самые сложные.

Если Эйнштейн опроверг Ньютона, то Мандельброт замахнулся на древних греков: в мире Мандельброта Земля больше не круглая. Его программный труд открывается манифестом: «Облако не шар, гора не конус, береговая линия не окружность». Рябь, неровности, изломы, трещины, пробки на дорогах и внезапные обвалы фондового рынка благодаря Мандельброту перестали считаться дефектом, досадной неприятностью, которая портит стройную картину мира. В них наконец признали движущую силу самого интересного из того, что происходит в атмосфере, толще океана, на улице или на бирже. Современной науке пробка интереснее тысячи автомобилей, которые едут из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью.

Фракталы вернули математике наглядность. С подачи Мандельброта картинки в духе психоделической живописи 60-х перекочевали на обложки математических журналов в 80-е. А из математических журналов — в массовую культуру. Клип Джонатана Коултона («Множество Мандельброта — пылающий тест Роршаха») собирает под сотню тысяч просмотров на YouTube. Мне лично знаком человек, который собирался вытатуировать этот фрактал у себя на плече,— но выяснилось, что он не будет оригинален.

За 34 года с момента открытия клякса с заусенцами незаметно превратилась в символ новой математики. Однако, что удивительно, среди чистых математиков Мандельброт всегда был белой вороной (или, если вспомнить Талеба, «черным лебедем»). Нобелевские премии по физике и экономике обошли его стороной. Но фракталы и нелинейность встряхнули все естественные науки разом: теория пригодилась в физике взрыва, химии биомолекул и медицине. Даже раковая опухоль, которая разъела поджелудочную железу Мандельброта и убила его на 86-м году жизни, — образцовый фрактал; онкологи уже давно увидели в этом факте пользу. Если разглядеть в комке раковых клеток стройную закономерность — это может быть первым шагом к победе науки над болезнью. Мандельброт, впрочем, не дожил до ощутимых результатов из этой области, но так бывает почти всегда.

Комментировать Всего 43 комментария

Хаос не любит великих открытий  порядка в себе.

Покойся с миром.

Пока практические приложения заметны только в компьютерных играх. Наверное, поэтому и премии не давали.

Это фундаментальное и, при этом, математическое открытие. Сколько лет прошло от простых чисел эпохи Евклида, до криптографии? Хотя и прогресс ускорился.

А за красоту дают премии другие ведомства, Вы правы,

Мы все знаем, что и CAPM и Black & Scholes и многие другие "гениальные теории" - все фуфло. А вот Мандельброт это научно доказал

Black Sholes по моему вполне элегантная выкладка. Одно другого не исключает, это же не соревнование. Мандельброт, Эйнштейн показывают нам, что мир совсем иной, чем нам его дано воспринимать. Что мы на него неправильно смотрим. Как например, мне кажется, для моей собаки понять, куда я езжу каждый день на работу--непосильная задача. Он уже 7 лет этого не понимает. Может, собачий Эйнштейн и Мандельброт в какой-то момент неимоверным умственным усилием постигнут это, и это будет феноменальная победа собачьего разума. Но сын-то мой уже в 4 года до этого докумекал.

Да, согласен: Black Scholes (ну и конечно нельзя забывать и Mertonа) элегантны. И может быть Вы понимаете, как это работает и чем это грозит. Но вот в мире то ведь вокруг одни собаки. Ну или бабочки крыльями машут...

Именно что мы можем понимать, но насколько я понимаю практические выводы из Мандельброта, не управлять и уж точно не покорять. "Черный лебедь" инвестиционное пособие для умных людей. Блак Шолс--для финансовых профессионалов.

Мне нравится метафора с собакой  -- ученые, по-хорошему, тоже заперты дома и судят обо всей Вселенной по редким вещам, которые она приносит к ним домой. Если астрофизики реконструируют Вселенную по набору излучений -- что мешает собаке реконструировать вашу работу по запахам? Она, во-первых, догадывается, что вы ездите к другим людям, во-вторых, что вы ездите на машине, в-третьих -- запахи привязаны к городской географии. Словом, ей есть над чем работать.

Но вот что печально: собака с огромным трудом это реконструирует, но нашему разуму это так ведь понятно и просто. И мир тоже такой, просто то, до чего физики допехивают с таким титаническим трудом нашими обезьянними мозгами, наверно мозгу чуть иному кажутся простейшими вещами.

спасибо! завораживает. когда еще youtube не был так популярен, гениальные люди придумали фрактальный генератор MilkDrop, который генерировал видеоряд к любой музыке в WinAmp'e

Спасибо. Борислав!

Пока ссылка у меня что-то не открывается. Когда заработает, с большим интересом посмотрю.

Испытываю восторг от генераторов!  

Спасибо, действительно прекрасная статья. По-моему, Фейгенбаум тоже никаких премий не получал?

Фейгенбаум, к счастью, жив (ему еще 70 нет). Еще куча времени, чтобы у Нобелевского комитета что-нибудь перещелкнуло в голове. Но -- с научно-популярной колокольни -- масштаб результатов у Фейгенбаума и Мандельброта разный, хотя каждый и сделал себе имя на одном конкретном результате. Один заставил пол-науки работать на свою теорию. Другой придумал важную фундаментальную константу (сравнимую с Pi и e по значимости) для внутренних нужд этой теории. Но это все-таки частность. 

 всегда знала, что  математика  - красота.... и каждый раз удивляюсь

Эту реплику поддерживают: Алексей Байер

Статья прекрасная, но печальная. Хочется стать не математиком, но философом.

Эту реплику поддерживают: Liliana Loss, Алексей Байер

спасибо! Мандельброт действительно ближе к философам (я бы даже сказал -- к натурфилософам, как это слово понимали двести лет назад), чем кто бы то ни было из великих современных математиков. Скажем, Перельмана или Уайлза, который доказал теорему Ферма, так не назовешь при всем желании.

Случай Мандельброта -- нечто вроде случая Гейзенберга. Он и еще несколько физиков начала века изнутри своей области могли сказать что-нибудь важное и общезначимое про мир в целом. В нынешней науке это дурной тон -- вот почему, кажется, Мандельброта и не любят.

мне кажется Вы чуть-чуть заблуждаетесь. Не знаю Уайлза, но Перельману (если Вы о Г.) есть что сказать. Но кажется он просто бережет миру нервы.

Вы кажется писали статью про картинку с кошкой, если ее начать вращать... ?

Сейчас попробую объяснить. Я вовсе не о том, что Перельману нечего сказать. Однако то, что он скажет, вряд ли будет про окружающий мир. Это особенность научной школы и задачи, которую он выбрал.

Есть две традиции в математике и теорфизике -- грубо говоря, платоновская и аристотелевская. "Аристотелевцы" (и Мандельброт в их числе) смотрят на реальный мир и ищут в нем законы, гармонию и так далее. "Платоники" считают, что мир -- проявление абсолютных законов, просто не единственное и далеко не самое интересное. На их взгляд, глупо отдавать предпочтение каким-нибудь сущностям и истинам только потому, что они проявились на практике -- допустим, в виде физического закона.

Попробую объяснить это на примере, который меня заворожил еще на первом курсе. Есть число Пи, 3.1415926535... -- оно отвечает на "физический" вопрос, во сколько раз длина окружности больше диаметра. А есть бесконечная сумма 1-1/3+1/5-1/7+1/9.... Тот факт, что она равна π/4, прямого отношения к физической реальности не имеет, но настоящему платонику доставляет чистое удовольствие. Знание, которое добывает Перельман из закоулков собственного мозга, без оглядки на реальность -- того же сорта.

На могиле многих ученых высечено число Пи до 25 знака. ;)

Цифры вещи интересные, настолько , что иногда сводят с ума. Так что же говорить о нашем понимании .

Но мне все же больше кажется, что как раз то, что было в закоудках мозга - выложенно в интернете. Обсуждено и писуждено к награде. А вот то, что вдруг понято о мире....умалчивается. Потому и отгородился от мира. Оттого и не дает интервью.  Это молчание и говорит о том, что есть еще что-то. О чем Боятся проговориться.

Хотя может, просто все надоело. Труд был громаден. Нужно время к восстановлению

Статья хорошая, спасибо! Не зря любила математику.

Ольга Гальцева Комментарий удален

:) Очень интересно и о-о-очень красиво!... :)

Мир душе Бенуа Мандельброта.

 Борислав, спасибо за замечательную статью.

Ага :)) Просто Эшер (чьи гравюры я привела) был большим поклонником фракталов...

вот только Эшер мог бы рисовать и без знания, что математики придумали фракталы -- он начал задолго до Мандельброта и ощущал такие вещи на кончиках пальцев. а контемпорари арт обыгрывает готовое понятие -- и, разумеется, несколько проигрывает Эшеру в убедительности.

Эту реплику поддерживают: Катерина Мурашова

У меня имеются большие сомнения, что много людей понимают, в чем же великость человека, назвавшего снежинку красивым словом "фрактал". Мне кажется, это эффект толпы - никто не понимает, что там великого, но поскольку все говорят... Не очень понятно, как автор статьи забыл упомянуть, что длина береговой линии у Мандельброта получилась бесконечной, а также нигде не употребил не менее красивое, чем "фрактал", слово "бифуркация", хотя и красиво сравнил песчинку с долларом (Блейк, правда, лучше справился с песчинкой). А Талеб, на мой взгляд, просто приплёл Мандельброта, чтобы добавить дешевой популярности своей дурацкой теории. Сказав все это, замечу: Мандельброт - гений. Надеюсь, что когда-нибудь он увидит оттуда сверху понимание своей теории вместо татуировок.

Хаос слишком большой. Поэтому я не рискну перечислить все ключевые понятия в одном тексте. Тем более теория бифуркаций -- все-таки заслуга Фейгенбаума (про него вспомнили в комментариях выше). Про Талеба я не соглашусь: у него, разумеется, абсолютно гуманитарный нон-фикшн без великих открытий, но мы его и любим не за математические прорывы. Талеб ценен как переводчик с языка одной культуры на язык другой. Кстати, если верить книге, Мандельброту было о чем с Талебом поговорить: он сам начинал с борьбы с гауссианой (пусть это и "дурацкая теория"), и был изрядный эконом, то есть умел судить о том, как государство богатеет, и чем живет, и почему не нужно золота ему, когда простой продукт имеет.

Сейчас вот пойду, проиграю в теннис своему тренеру и напишу пост про то, что я думаю про Талеба. А про Пушкина я думаю, что он неисчерпаем, как электрон, и упомянутый отрывок увиделся мне так (офф-топик чуть-чуть]:

И был глубокий эконом,

То есть умел судить о том,

Как государство богатеет,

И чем живёт, и почему

Свобод не надобно ему,

Коль нефть и газ оно имеет.

Защитник вольностей и прав

В сём случае совсем не прав.

Эту реплику поддерживают: Liliana Loss

Когда я слышу от кого-то об освоении космоса и поисках внеземных цивилизаций,мне почему-то хочется послать их в жопу,потому как там есть все то же самое,и космос и внеземные цивилизации,а так глядишь еще и пользу принесут.

По космосу из ..опы снимают ужастики. Но фильмы к космосу отношения не имеют. ;)

На самом деле , вам неприятно слушать  дилетанта. Исследователи космоса не настолько распространенные люди, и не настолько свободные - чтобы просто болтать.

Относительно прямой кишки, вы правы - там своя вселенная, планета с атмосферой и жителями.  Если абстрагироваться от "георгафического" положения, то это весьма интересно. ;)

Напротив,с дилетантами всегда нахожу общий язык,в остальном же,не совсем понятен смысл ответа,да и Господь с ним.

Действительно. Сморозили глупость. Теперь поняли. Лучше уж "Господь с ним" ;)

Да,да,спасибо,вразумили.Вы меня простите,убогого,не со зла же я,так,по недомыслию.

всегда так. ;) сойдутся два убогих ;) и давай соревноваться ;)

Это благородно конечно с Вашей стороны,но мы в чужом блоге.Всего наилучшего.