Прочёл гениальную философскую «маленькую трагедию», написанную математиком, который, кажется, всеми силами старается не выглядеть философом. И все же это поэтический, остроумный, и тонкий философский текст. Автор своим острым глазом рассматривает точки, прямые, окружности, функции, случайные траектории, поверхности. И постепенно выясняется, что действующие лица — отнюдь не только математические объекты. Платон, Шопенгауэр, Паскаль, Ницше, Кьеркегор не были открыто приглашены, но я полагаю, они не могут удержаться от участия.
Шнирельман рассказывает о математических существах так, словно они способны внушать наслаждение, страх, отвращение, тоску\\`. Он прекрасно знает, что точка не обладает волей, а случайная кривая не испытывает отчаяния. И всё же обнаруживает в математическом мире нечто тревожно человеческое. Или, напротив, тревожно нечеловеческое.
В начале мы наблюдаем геометрический рай. Точка. Прямая. Окружность. Совершенные создания, не нуждающиеся ни в улучшении, ни в упрощении, ни в прощении. У них нет прошлого, которое хотелось бы исправить, и будущего, которого следовало бы опасаться. Никто не спрашивает, почему он существует. Платон был бы доволен.
Но зачем душе понадобилось отворачиваться от становления? Откуда эта удивительная неприязнь к времени? Плотин ответил бы логикой тоски по Единому, Паскаль — ужасом перед бесконечностью и скачком веры, Шопенгауэр — страданием, неотделимым от мира как воли и представления.
Сама возможность подобных ответов предполагает существо, способное не только страдать, но и знать о своём страдании, не только умирать, но и пред/ставлять, о/сознавать собственную смерть. Геометрическая точка избавлена от этих тревог. Она избавлена также от возможности наслаждаться своим избавлением.
В этом одна из тонких провокаций Шнирельмана. Совершенство оказывается не только прекрасным, но и невыносимым. Человек стремится к покою, однако не способен вынести покой, в котором исчезнет сама возможность стремления. Может быть, поэтому история метафизики напоминает бесконечные попытки построить дом, из которого хозяин немедленно начинает искать выход.
Шнирельман называет царство математической непреклонности Царством Снежной королевы. Андерсеновская героиня предлагает Каю занятие, достойное будущего гениального математика: складывать из льдинок фигуры, пока не возникнет слово «вечность». Награда — весь мир. Но плата за эту холодную вечность — горячее человеческое сердце.
У Шнирельмана математический объект не подчиняется приказу — он совпадает с ним. Шопенгауэр, сделавший мировую волю виновницей бесконечного страдания, с радостью бы принял это совершенство формы. Однако его воля мучительна потому, что никогда не удовлетворяется. Но в математическом царстве Шнирельмана «воля» — метафора неизменного закона: математическому объекту нечего желать, его определённость задана раз и навсегда. Что грустнее — бесконечная неудовлетворённость или окончательное удовлетворение?
Ницше с его подозрением к философам, превращающим изменчивость в порок, а неподвижность — в добродетель, это совершенство бы не принял. Но Ницше не уйти от ловушки собственного парадокса. . Amor fati, любовь к судьбе, требует вечного повторения того же самого, другими словами согласия с невозможностью хоть на йоту изменить прожитое. Вряд ли найдётся кто-то, включая самого Ницше, кто действительно согласится на это условие. По простой причине: абсолютно точное повторение не позволяет нам отличить повторение от его полного отсутствия.
Снежная королева подобных затруднений не знает. Её царство великолепно. Но жить, любить и творить в нём невозможно.
После совершенных фигур у Шнирельмана появляются математические чудовища. Смотрите на картинки! Кривая Вейерштрасса непрерывна, но не имеет производной ни в одной точке. Великий Эрмит испытывал к подобным созданиям отвращение. Перед нами объект, который не нарушает ни одного закона, но ведёт себя хуже, чем неприлично — отвратительно. Не объект, а «абъект», сказала бы Юлия Кристева.
Впрочем, кто установил правила математического приличия? Вспомним историю тритона. Это не земноводное и не морское божество, а простой музыкальный интервал: на белых клавишах — «си — фа». Diabolus in musica, дьявол в музыке, — его традиционное средневековое прозвище. В Новое время тритон становится одним из важнейших элементов мажоро-минорной тональной системы. Бах весь кругом в тритонах и прекрасно проводит с ними время церковной службы, молитвы и медитации.
То, что одна эпоха слышала как дьявольское нарушение порядка, другая превратила в основание великой гармонической и полифонической традиции, которой сейчас наслаждается все человечество.
Меняются системы слышания, ожидания, образы, смыслы, аффекты, базовые отношения между элементами музыкальной ткани. Меняется сам человеческий слух.
Математические чудовища проделывают нечто подобное с воображением. Шнирельман позволяет себе испытывать отвращение, смешанное с восхищением. Математик не обязан притворяться, будто всякая доказанная теорема прекрасна. И в этом эстетическая честность его эссе. Чудовище безупречно законопослушно. Его безобразие произведено необходимостью.
Красота и уродство перестают совпадать с противоположностью порядка и беспорядка. Математика, как кажется, никому не обязана быть прекрасной. Однако она слишком часто оказывается прекрасной. И это обстоятельство заслуживает отдельного разговора.
Вигнер назвал эффективность математики в естествознании непостижимой (он имел в виду математическую физику). Абстрактные конструкции, возникающие внутри собственной истории чистого и предельно абстрактного математического мышления, оказываются пригодными для описания и открытия чудес физического мира. Более того, математический аппарат предсказывает существование прежде неизвестных, неожиданных и часто нежеланных физических объектов и явлений. Почему? Физики отвечают по-разному, а чаще предпочитают помалкивать и продолжать работу. Shut up and calculate.
Эйнштейн открыто говорил о рациональной постижимости мира как о чуде. Гейзенберг возвращался к платоновским математическим формам, Дирак доверял красоте уравнений. Сабина Хоссенфельдер в Lost in Math подвергла эту веру резкой критике: природа не обязана соответствовать эстетическим вкусам физиков. Но ее критика наивна, и не устраняет загадку Вигнера.
Марк Штайнер обратил внимание на ещё более поразительное обстоятельство: физики успешно угадывают законы природы, используя аналогии между математическими структурами и даже особенностями знаков, математической нотации. Человеческое математическое воображение и письмо словно предугадывают устройство независимой от человека реальности. А что, если познаваемость мира — не случайное обстоятельство?
Робин Коллинз предложил исследовать тонкую настройку физических констант не только на возможность жизни, но и на возможность научных открытий. В близком направлении размышляют физики А. Буров и А. Цвелик, развивающие принцип познавательного минимакса сложности законов. Коллинз идёт дальше: не настроен ли мир не только на появление сапиенса, и на познание , но также на обнаружение сапиенсом настроек на эту познаваемость? Возникает гипотеза метапознаваемости.
Вспомним детское переживание Толстого: «Я думаю, о чем я думаю. А теперь, о чем я думаю? Я думаю, что я думаю, о чем я думаю…» — «Ум за разум заходил». Разум обнаруживает математическую структуру Вселенной и начинает подозревать, что эта структура допускает обнаружение собственной познаваемости. Борхес, Эшер, лента Мёбиуса?
Разумеется, между обнаружением благоприятных для познания параметров и доказательством намерения остаётся логическое расстояние. Но сам вопрос не исчезает. Опять появляется Снежная королева Шнирельмана. Что, если её царство специально устроено так, чтобы в нём появился смертный человек, паскалевский мыслящий тростник, способный постичь его красоту? А что, если это лишь ещё один способ человеческого разума увидеть в зеркале мироздания собственное лицо? У меня нет ответа, только радостное и одновременно тревожное удивление. Есть ощущение, что вопрос этот гораздо глубже привычного спора о красоте математических теорий.
Вернёмся к Шнирельману. Его мысль совершает неожиданный поворот: если совершенная форма влечет и угнетает непреклонной волей, можно рискнуть создать образ, вовсе лишённый замысла.
На сцене появляется Слепой червь. Одно из самых неприятных и одновременно остроумных существ математической литературы. Он ничего не видит, не слышит, не желает и ползёт сквозь землю, меняя направление по указанию Оракула, выдающего абсолютно случайные знаки. Червь вроде бы должен оставить след, свободный от всякого замысла.
Но эта надежда оборачивается недоумением. Выясняется, и для меня это новость, что идеальную случайность нельзя гарантировать обычным детерминированным алгоритмом: компьютерные псевдослучайные последовательности подчиняются правилам, даже когда выглядят непредсказуемыми. Стохастический Оракул порождает кривые, созерцание которых вызывает, по мнению Шнирельмана, тоску, переходящую в отвращение.
В Царстве Снежной королевы слишком много воли. В Царстве Слепого червя её вовсе нет. Эпикур и Лукреций надеялись посредством clinamen, самопроизвольного отклонения атомов, преодолеть абсолютную необходимость. Но ведь случайность ещё не свобода. Случайный распад атома не становится поступком. Слепой червь не свободен.
Шнирельману удаётся необычайное: посредством математического мысленного эксперимента он заставляет почувствовать драму двух противоположных пределов человеческого существования. И всё это — без философской кафедры, без метафизической системы, с одним фантастическим червём. Между двумя царствами Шнирельман обнаруживает вроде бы ничейную территорию — Царство Свободы. И немедленно начинаются парадоксы. Математик постоянно говорит: «выберем произвольное число». Но как выбрать его действительно свободно? Шнирельман предлагает студентам записать случайную последовательность цифр. Один, однако, выбирает повторение единиц, другой — чередование нулей и пятёрок, третий сам придумывает закономерность. Попытка писать цифры случайно тоже превращается в правило. Буриданов осёл мог бы оказаться образцовым математиком: он добросовестно относится к условиям задачи.
Брауэровский математический интуиционизм пытается выйти за пределы привычной математики и теории множеств. Он допускает свободное продолжающееся построение последовательности. Человек говорит: «Я выбираю». «Я мог выбрать иначе». «Я не должен был этого делать».
Бенвенист показал особое положение «я» в языке. Рефлексия идёт дальше: я способен судить о том, кто вчера говорил «я», обвинять его, оправдывать, обещать исправление. Я не совпадаю с собой, хотя не могу перестать быть собой. Возможно, свобода принадлежит не столько пространству физических альтернатив, сколько этому мучительному и одновременно творческому отношению человека к самому себе. Невозможно доказать свободу выбора, ее можно только постулировать. Человек в любом случае вынужден жить als ob — как если бы он был свободен. Иначе невозможны обещание, ответственность, вина, прощение.
Шнирельман рассказывает нам о теореме Нэша — Кюйпера. Поверхность, сохраняющая внутренние расстояния, оказывается способной к невероятным деформациям при определённом условии гладкости. Необходимость не исчезает, но внутри неё открывается поразительное богатство возможностей. Узнаю нечто близкое музыке. Партитура состоит из вроде бы ясных письменных предписаний, однако исполнение, мягко говоря, не сводится к их выполнению. Можно точно соблюдать написанное и не исполнить ни смысл, ни страсть музыки. Между нотной записью и звучанием лежит пространство решений, не поддающихся полному перечислению и техническому повтору. Прозвучавший звук нельзя отозвать. Можно изменить его смысл следующим звуком, но уже нельзя сделать так, чтобы он не прозвучал.
У Шнирельмана возникает поразительная формула: «Ибо реализованная свобода немедленно застывает в виде непреклонной, неотменимой воли». Сделанное уже сделано. Сказанное уже сказано. Прозвучавшее уже прозвучало. Повторение обещает возвращение, но всякий раз производит новое событие. Даже буквальное повторение музыкальной фразы происходит в другом времени, с другой памятью, с изменившемся переживанием.
Ницше попытался придать возвращению вечный космический масштаб. Но, как уже было сказано, возникает логическая трудность: если повторение абсолютно, если повторяются не только все события, но и вся память о них, все состояния сознания, включая отсутствие памяти о предшествующих повторениях, то для наблюдателя внутри мира абсолютное повторение невозможно отличить от его отсутствия. Внешний наблюдатель мог бы различить циклы, но Ницше принципиально отвергал подобную позицию вне мира — философское двоемирие. Если бы он осознал эту логическую, а вместе с ней и экзистенциальную трудность, ему пришлось бы что-то с ней делать.
Однако столь смертельно любимая Ницше великая музыка позволяет пережить подлинное повторение без представления о вечном, лишённом даже малейшей вариации возвращении. Музыкальные повторения, репризы не отменяют, а подчеркивают необратимость времени.
О музыке Ницше. Видео с моего канала. https://rutube.ru/video/7516b4b67b7d844d4b20ac4ba8da01c1/
Я одновременно и спорю, и соглашаюсь с Леви-Стросом, назвавшим миф и музыку «машинами для уничтожения времени», машинами, остро нуждающимися в том самом, что они планируют уничтожить. Есть странность, сопровождающая историю метафизики: человек постоянно, прямо или косвенно стремится туда, где его, возможно, никогда не было. Платоновский мир идей, плотиновское Единое, шопенгауэровское освобождение от воли, ницшевское возвращение — различные философские миры, но в каждом слышится тоска, ностальгия, Sehnsucht по преодолению человеческой разорванности вопросительности, рефлексии, осознания времени и смерти (не стоит это осознание путать со страхом смерти).
Ницше оставил нам формулу: Das Heimweh ohne Heim — тоска по дому без дома. Человек способен представить состояние до различия между собой и миром, до времени, смерти, рефлексии. Но представить такое состояние означает именно процесс пред/ставления, то есть рефлексии, а значит, находиться по другую сторону единства. Мы не можем вспомнить довербальное существование как некое реальное прошлое, рассказанное от первого лица. Для этого пришлось бы обладать языком до всякого языка и речи. Можно ли на языке пчел передать ощущение абсолюта?
В эссе Шнирельмана геометрический рай Снежной королевы и Царство Слепого червя оказываются в чем-то родственными. Первый обещает абсолютную определённость, второе — отсутствие всякого замысла. Оба позволяют вообразить существование без мучительного человеческого отношения к самому себе. Оба непригодны для живого страдающего и творящего человека. Уравнение может быть истинным. Но оно может быть нашим вечным домом только за порогом смерти.
Шнирельман мог бы завершить эссе философской системой. Материалов достаточно: необходимость, случайность, свобода, красота, уродство, воля, наслаждение. К счастью, он этого не делает. Меня восхищает само изящное движение, тонкий рисунок его мысли: лёгкость, с которой строгий математический аргумент превращается в философскую тревогу, легкая ирония, с которой эта тревога освобождается от философской торжественности. Его образы не иллюстрируют готовую доктрину. Они рождаются из математической красоты и проблемы, они начинают жить собственной жизнью.
Снежная королева и Слепой червь — не просто аллегорические украшения. Без них исчезла бы значительная часть самого рассуждения. Математик не подменяет доказательство переживанием, но и не приносит переживание в жертву доказательству. Шнирельман не утверждает , что математический мир трагичен. Он проводит читателя через несколько его воображаемых царств, заставляя пережить ощущение невозможности окончательного пребывания в каждом из них. Почему математик ищет свободу среди математических объектов? Математика не требует такого поиска. Но человечность внутри нас — требует.
Финал Шнирельмана и неожиданен, и закономерен. Он завершает его рисунок. После геометрических фигур, чудовищных функций, случайных траекторий, брауэровского выбора и поверхностей Нэша — Кюйпера возникает графический этюд Матисса. Женское лицо. Несколько линий. Никакого доказательства, только рисунок. Шнирельман признаётся, что не знает, как попасть в Царство Свободы. Каждый раз это выглядит чудом. И перед рисунком он умолкает.
Этот финал пронзителен. В нём нет капитуляции математики перед искусством. Нет противопоставления холодного разума и живого чувства. Каждая линия Матисса свободна, но уже проведена. Никакой штрих не может быть отменен без полного изменения смысла и ауры целого. Но почему завершённость рисунка не вызывает того священного ужаса, который внушала совершенная окружность? Может быть, потому что линия сохраняет ощущение свободного действия, хотя само действие давно завершилось. А может быть, всякое подобное объяснение уже начинает разрушать то, что пытается объяснить.
Молчание перед произведением искусства не возвращает человека в состояние до речи. Это молчание после языка, сохраняющее возможность слова, вопроса, сомнения. Шнирельман не произносит последнего слова. Не превращает пережитую красоту в доказательство. Не требует от свободы онтологического якоря. Матисс оставляет несколько изящных любовных линий. Шнирельман умолкает. И я умолкаю вместе с ним.
Приложение
Красота и уродство математических образов
Александр Шнирельман
1. Сколь прекрасны конические сечения – эллипс, парабола, гипербола, да и просто прямая линия, или окружность, или даже просто точка, одинокая точка на бесконечной плоскости! Созерцая эти образы, чувствуешь себя, если не на небесах, то уж точно в платоновском мире, где, если посмотреть по сторонам, увидишь и Прекрасное само по себе, и Добро само по себе, и … чего там только не увидишь, чего нет у нас тут, на нашей земле. А ведь рядом с коническими сечениями живут и другие чудные кривые: тут и синусоиды, и циклоиды, и спирали, Архимеда и логарифмические, и даже славные кривые Безье. Просто жить бы среди этой красоты и радоваться!
А есть еще прекрасные симметричные образы, правильные многоугольники и многогранники, правильные решетки и орнаменты в нашем Евклидовом пространстве. А есть еще и гораздо более богатый мир неевклидовых орнаментов. А если добавить к элементам симметрии еще и гомотетии, мы попадаем в мир фракталов, настолько обширный и разнообразный, что в нем можно утонуть и заблудиться сразу.
Но давайте посмотрим на эту красоту пристальнее, не торопясь. Чтобы не отвлекаться в сторону, рассмотрим простейший образ, а именно точку на бесконечной плоскости, и будем ее внимательно, не отвлекаясь, созерцать нашим внутренним взором. Понемногу у нас возникает какое-то смутное беспокойство. Эта точка, такая простая (не имеющая, согласно Евклиду, частей) сидит на своем месте так уверенно, так комфортно, так вальяжно, что начинает вызывать даже смутную зависть. Нам, людям, даже самым спокойным и уверенным в себе, такая естественная, непринужденная поза, как у этой точки, недоступна. Мы как будто смотрим ей в глаза, и она никогда не моргнет.
А наш брат обязательно когда-нибудь моргнет, потом будет моргать снова и снова, пока не отведет глаза. И мы начинаем чувствовать, что уверенность этой точки в своем праве сидеть на этом месте несравнимо сильнее нашей уверенности в том, что мы по праву занимаем НАШЕ место. Или, если мы считаем, что кто-то эту точку поставил на это самое место, то ЕГО воля неизмеримо сильнее нашей. И, разглядывая мысленным взором точку, не имеющую частей, мы чувствуем все сильнее свое ничтожество перед этой дикой, всепобеждающей силой чьей-то воли, по сравнению с которой слабая человеческая воля – ничто.
Также мы чувствуем наше ничтожество перед образом идеальной бесконечной прямой на идеальной плоскости. Человек при всем желании и старании не может начертить такую прямую; она существует только в идеале, но эта идеальная прямая внушает нам то же ощущение безграничной воли, подавляющей нашу ничтожную, бесконечно слабую волю. Хоть бы какая неправильность в этой прямой, маленькая кривизна, дрожание руки – мы бы тут же примирились с этой несовершенной прямой, признали бы в ней что-то сродное с нашей природой. Но нет, прямая идеальна, и она не из нашего мира.
А возьмем окружность. Она такая милая, такая круглая! Но если смотреть на нее подольше, то ее идеальная круглость, ее всюду одна и та же кривизна внушает нам то же чувство чего-то несоизмеримого с нами, какой-то сверхчеловеческой воли, которая держит эту окружность и не дает ей отклониться даже чуть-чуть от ее идеальной круглости.
Или возьмем квадрат. Про него можно сказать все то же самое. Его идеальная квадратность, равенство всех сторон и всех углов, в конце концов производит впечатление непреклонной воли, держащей эту фигуру такой, какой ей предписано быть, и не отклоняться даже на бесконечно малую величину. И среди квадратов особенно выделяется своей квадратностью Черный Квадрат. Он окружен уже таким облаком славы, такой атмосферой толкований, что зритель поневоле рассматривает его дольше и внимательно, чем любой другой, обыкновенный квадрат. И, сосредоточившись на созерцании Черного Квадрата, зритель попадает в заколдованный круг. Он смотрит в глаза этому Вию, этому образу необоримой Воли, которая сминает его ничтожную волю, и не может отвести глаза, пока этот Вий выедает его сердцевину. И ведь то же ощущение возникает и при внимательном созерцании таких прекрасных образов, как конические сечения, орнаменты, фракталы … В чем же тут дело? Почему то, что должно радовать глаз и душу (и большинство людей искренне верят, что эти образы в самом деле радуют их глаз и душу), производит в душе такие смутные и даже разрушительные ощущения?
2. Конечно, благочестивые души избегают углубляться в такие вопросы, могущие увлечь их чересчур далеко и глубоко. Но математикам неймется. Любопытство увлекает их, подобно первым людям, за пределы рая, где живут такие прекрасные звери, в сторону каких-то странных, невиданных созданий, пока не приводит их в места, противоположные раю, то есть прямо в ад. Эти неосторожные математики вопрошают: есть ли в математике что-то, противоположное всей этой красоте, и всему этому порядку? То есть какие-то образы, чье безобразие превосходит наше воображение, чье созерцание, по мере его углубления, все больше омрачает душу, и приводит к ее в смятение?
Некоторые математики уже давно догадывались о существовании этой адской бездны. Так, великий Шарль Эрмит писал по поводу примера Вейерштрасса непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке: «Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées.» («Со страхом и ужасом я отворачиваюсь от этой прискорбной язвы — непрерывных функций, не имеющих производных»).
Хотя, надо сказать, график функции Вейерштрасса – это настоящий фрактал, у которого каждый маленький кусочек воспроизводит в миниатюре весь график в целом (рис.
Рис.1. График функции Вейерштрасса, не имеющей производной ни в одной точке, и его увеличенный фрагмент, демонстрирующий фрактальную природу этой кривой.
На наш современный вкус, привыкший к фрактальным образам, график функции Вейерштрасса совсем не кажется уродливым; сейчас мы назвали бы его интересным (или даже изумительно интересным, чтобы не называть его красивым). Но функция Вейерштрасса определяется некоторой явной формулой, в ней чувствуется ЗАМЫСЕЛ, которому ее создатель (или даже сама функция) неуклонно следует, так что никакая посторонняя воля не сможет повлиять на ее построение. Эта функция (вернее, ее график), тем самым, принадлежит тому же царству, что и квадрат, круг, прямая, точка – то есть к царству абсолютной, сверхчеловеческой ВОЛИ. Так что, желая найти какие-то образы из противоположного мира, мы должны смотреть на образы, воплощающие в себе полное, идеальное БЕЗВОЛИЕ.
3. Но где нам взять такие образы? Если мы приложим хотя бы мизерное усилие, чтобы, скажем, начертить абсолютно безвольную кривую, то тем самым мы приложим свою, хоть и слабую, но волю, и она будет видна на начертанной нами кривой. Любой намек на замысел сразу породит волевой скелет нашего создания, и мы не получим того, чего хотели. Ведь любой намек на желание получить результат – абсолютно безвольный образ – сразу же же убьет его безволие. Так что можно констатировать, что исключить волю к созиданию (чего угодно) невозможно, это логически противоречиво.
4. Если невозможно создать что-либо, не имея никакого замысла, то единственный выход – это привлечь стороннего агента. Но этот агент должен быть начисто лишен даже намека на замысел, или на проявление своей воли. Такой агент, лишенный своей воли и замысла, называется случайным событием. И простейшее, вернее фундаментальнейшее, случайное событие – это случайный бит, он же – результат бросания монетки. В этом месте на меня обрушивается совершенно неподъемная проблема случайности, т.е. объяснение, что такое случайный бит, и поиски его вокруг нас. Я не готов обсуждать эту вечную проблему, и поэтому постулирую (т.е. совершаю акт веры), что существует такой черный ящик (оракул), который выдает +1 или -1 с вероятностью 1/2 (не спрашивайте меня, что это значит). И при этом результат каждого обращения к этому устройству совершенно не зависит от результатов всех других обращений (тоже непонятно, что это на самом деле значит).
Если мы будем много раз обращаться к этому оракулу и записывать результаты один за другим, то получим последовательность из плюс или минус единиц, которая, мы верим, лишена малейшего следа замысла и воли создавшего ее оракула. Еще раз подчеркну, что никакими человеческими силами невозможно создать такую последовательность; она совершенно трансцендентна нашему, человеческому миру. (Собственно, внутреннее противоречие в идее создания абсолютно случайной последовательности абсолютно независимых случайных плюс-минус единиц логически тождественна старой проблеме «Может ли Всеведущий задать вопрос, на который он не может ответить?», или «Может ли Всемогущий создать камень, который он сам не может поднять?», и другие в том же роде.)
Итак, поверим, что случайный бит существует. Как с его помощью создать геометрический образ (например, кривую), лишенную всякого следа замысла? Для этого мы должны вообразить себе фантастического зверя, которого имя – Слепой Червь. Этот зверь живет в глубине земли и лишен не только зрения, но и всех других чувств. Он ползет вперед, проедая себе путь в земле; в каждый момент его передний конец (голова) слегка, на бесконечно малый угол, отклоняется то вправо, то влево. Направление такого отклонения определяется в каждое мгновение оракулом: если оракул выдает результат 1, то голова червя отклоняется вправо, а если результат оракула -1, то влево. Траектория червя, его след в земле, и есть та кривая, которую мы стремимся получить. По самому определению, эта кривая случайна; запустив в другой раз червя из того же начального положения, мы получим (с вероятностью 100%) совершенно другую кривую.
Движение Слепого Червя нетрудно приближенно воспроизвести на компьютере. Для этого мы вместо кривой с непрерывно меняющимся направлением касательной построим ломаную линию с очень короткими ребрами одинаковой длины (настолько короткими, что их длина меньше размера пикселя на экране). При переходе от звена к следующему звену мы обращаемся к оракулу. Если оракул выдает 1, то следующее звено повернуто относительно предыдущего вправо на угол a, а если оракул выдает -1, то оно повернуто влево на тот же угол. Длина каждого звена равна одному и тому же h; чтобы получить желанную кривую, нужно, как доказывается в теории Броуновского движения, взять h=a^2.
Это построение имеет смысл, если … мы имеем доступ к Оракулу. Но соорудить Оракула человеческими силами невозможно: это упирается в логическое противоречие. Добыча настоящих случайных битов в природе – это трудное и опасное занятие (например, бросание актуальной, металлической монетки не дает настоящего случайного бита). То и дело оказывается, что кажущиеся случайными и независимыми события таковыми на самом деле не являются (иногда это оказывается великим открытием). Поэтому мы вынуждены пользоваться суррогатами, т.е. псевдослучайными числами, в надежде, что результат будет не очень далек от настоящего.
На Рис. 2 показаны несколько кривых, полученных таким образом (напомню, что кривые – случайны, и здесь приведены несколько реализаций этой случайности). На первый взгляд, в этих кривых нет ничего особенного – кривые как кривые, только уж ОЧЕНЬ они кривые. Если я смотрю на них подольше, то меня охватывает смутная тоска, переходящая в отвращение. Это все больше становится созерцанием чистого хаоса, чего-то совершенно безОбразного. Если в начале этого трактата мы созерцали образы - воплощения замысла, полные несокрушимой воли этот замысел воплотить, то здесь мы имеем нечто противоположное – полное отсутствие всякого замысла и всякой воли. Можно сказать, что сперва мы пребывали в Царстве Снежной Королевы, где царила ее несокрушимая Воля, а потом переместились в Царство Слепого Червя, где нет ни воли, ни замысла, одна безбрежная тоска. Оба царства непригодны для пребывания там чело
Рис.2. Образцы «абсолютно бесхарактерных» кривых. На них смотреть противно, не правда ли?
Еще один пример такого абсолютно бесхарактерного образа – это так называемое Поле Берри, то есть суперпозиция плоских монохроматических волн на плоскости, распространяющихся во всех направлениях и имеющих случайные и независимые амплитуды и фазовые сдвиги (Рис. 3). На первый взгляд, это поле может понравиться, из него даже захочется сделать обои. Но я не советую, Вам гарантирована смертельная тоска. Безнадежно искать здесь какую-нибудь организующую волю; ее тут нет и быть не может.
Замечательно, что оба эти примера, при всем внешнем различии, имеют общий источник случайности – Белый Шум. А именно, и случайная кривая, и случайное поле Берри, при всем их очевидном различии, получаются в результате некоторого преобразования одного и того же случайного объекта – белого шума на отрезке. То есть, и «количество», и «качество» их хаотичности одинаково. Конечно, я не хочу сказать, что эти объекты чем-то плохи сами по себе. Напротив, они необыкновенно важны в современных проблемах математики, от Теории Чисел до Гидродинамики. Однако они, подобно токсичным или радиоактивным веществам, могут оказаться смертельными для незащищенных человеческих чувств, и поэтому требуют осторожности.
Рис. 3. Фрагмент Гауссового изотропного монохроматического поля («Поля Берри»).
5. Что же получается? Куда деваться человеку в этом мире страшных образов, зажатом между Царством Снежной Королевы и Царством Слепого Червя? Нет надежды? Надежда есть. Между этими царствами находится ничейная территория. Жизнь там трудная и опасная, но это все-таки жизнь, а не смерть. Это – Царство Свободы. Слово СВОБОДА редко появляется в математике, да и само понятие появляется нечасто. То есть на каждом шагу, по много раз на страницу, мы встретим выражения вида «Пусть х – произвольное число (или произвольная точка)», или «Выберем произвольное а, такое, что…», или «Определим z как любой корень уравнения …», и т. д. Казалось бы, вот она, свобода: выбирай свободно любой элемент из множества, тебе за это ничего не будет. Но вот, поди же: а как это, свободно выбрать?
Для конкретности, вот пример такой ситуации. Рассмотрим действительные числа х, расположенные между 0 и 1. Каждое такое число определяется через его десятичное представления: x=x_1, x_2, …, где каждое x_i есть одна из цифр 0, 1, …, 9. И вот Вам дается задание: написать какое-нибудь число, десятичная запись которого состоит из, скажем, 100 цифр. Вы совершенно свободны, какие цифры хотите, такие и пишите. Дайте это задание группе студентов из 100 человек. Кто-то решит, что если можно написать любые цифры, то он напишет одни единицы; другой поставит нули на четных местах и пятерки на нечетных; третий начнет с нуля, и дальше будет ставить цифры в порядке возрастания, а дойдя до девятки, начнет писать их в убывающем порядке, и дальше будет повторять, пока не дойдет до конца. И, скорее всего, почти вся группа выполнит задание приблизительно таким образом. Но будут, вероятно, другие испытуемые, которые будут действовать по-другому. Такой студент достанет монетку и станет ее кидать, записывая на место каждой цифры 0, если выпал орел, и 1, если выпала решка. А другой оригинал вспомнит стих «Мой дядя самых честных правил, когда не в шутку занемог...», и будет записывать на каждое место цифру, соответствующую очередной букве великой поэмы (это соответствие он найдет в своем телефоне).
Понятно, что большая часть студентов генерирует последовательные цифры согласно жесткому алгоритму (т.е. живет в Царстве Снежной Королевы), а остальные используют внешние датчики более-менее случайных чисел (битов), т.е. ведут себя по законам Царства Слепого Червя. Никто из них не производит по-настоящему свободного выбора. А если попросить кого-нибудь действительно написать последовательность свободно выбранных цифр, избегая жестких алгоритмов и помощи внешних источников? Попробуйте, я на Вас погляжу.
В чем же дело? Почему так трудно создать свободным выбором даже не особо длинную последовательность цифр? Тут мы приходим к очень странному математику, Лёйтзену Энгберту Яну Брауэру, знаменитому топологу и создателю замечательной математической ереси, называемой ИНТУИЦИОНИЗМ. Постижение интуиционизма – достаточно трудная и неблагодарная задача, так как оно требует отказа от основ нашего математического мышления, как они сложились к началу 20 века. Брауэр не признавал теорию множеств Кантора, конкретно – понятие об актуально бесконечном множестве, данном нам как законченная сущность. Он верил только в древнюю потенциальную бесконечность. И, например, действительное число определял как последовательность его десятичных знаков, которая ни в какой момент не существует как целое, а всегда только как ее начальный отрезок. При этом последовательность перманентно удлиняется, к ней дописываются цифры, одна за другой. При этом каждая новая цифра выбирается СВОБОДНО. Что значит свободно? Этого Брауэр и его последователи не определяют. Во всяком случае, свободный выбор – это не результат выполнения жесткой, детерминированной программы. А также это и не случайный выбор.
На самом деле, такая вещь как свободный выбор не может быть определена, это первичное, неопределимое понятие. Возможность свободного выбора – это постулат, не имеющий доказательства. Общеизвестный пример применения этого постулата – это Буриданов Осел, поставленный между двумя одинаковыми и одинаково удаленными от него охапками сена. С точки зрения плоского рационализма, у Осла нет никакой возможности выбрать, какую охапку съесть, поскольку они для него абсолютно одинаковы. Поэтому он не сможет выбрать ни одну из них и умрет от голода. Но согласно постулату о возможности свободного выбора, он МОЖЕТ выбрать одну из охапок, и останется жив.
Эти два примера, построение действительного числа путем свободного выбора последовательных знаков, и проблема Буриданова Осла, являются в некотором роде экстремальными, поскольку в них свобода выбора ничем не ограничена (кроме необходимости сделать выбор). Обычно свобода выбора ограничена какими-то дополнительными условиями. Кроме того, выбор (или последовательность выборов) обычно нужен для какой-то цели, а не просто для самого себя. В актах выбора должен быть какой-то замысел, а результат выборов имеет какой-то смысл. Поэтому в конкретных реализациях бескомпромиссная свобода выбора смягчается тем, что большая часть ее отнимается условиями, ограничениями и преследованием какой-то внешней цели.
Замечательный пример такой проблемы, решаемой (в какой-то степени) свободным выбором – это теорема Нэша-Кюйпера об изометрическом вложении 2-мерной Римановой поверхности в трехмерное пространство. Рассмотрим в качестве примера обычную сферу радиуса 1. Можно ли ее изогнуть так, чтобы любая нарисованная на ней кривая сохранила свою длину, но чтобы, во-первых, у изогнутой сферы в каждой точке была касательная плоскость, непрерывно меняющаяся от точки к точке, а во-вторых, чтобы изогнутая, деформированная сфера поместилась вся внутри другой, гораздо меньшей сферы? Конечно, если сфера сделана из фольги, то ее можно смять в маленький комок; но эта смятая фольга будет иметь ребра и острия, это просто убивает задачу. А вот можно ли смять сферу гладко?
Нэш и Кейпер доказали, что это сделать можно. То, как они это сделали, воистину гениально. Они начали с того, что подобно сжали сферу, так что она стала совсем маленькой. Но тогда все кривые на сфере стали короче. Чтобы восстановить их длины, авторы начали лепить сферу, как будто она сделана из пластилина. Они стали делать на ней складки и морщины, которые удлинняют все нарисованные на ней кривые. Здесь важно не перестараться, и остановиться вовремя, чтобы все кривые остались короче, чем были на оригинальной сфере. Это был первый шаг построения. На следующем шагу авторы продолжили добавлять складки и морщины поверх уже сделанных, но существенно более мелкомасштабных. Потом еще более мелких, и т.д. На каждом шагу поверхность растягивается, и в пределе получится поверхность, изометричная исходной сфере, но очень морщинистая, и за счет этого помещающаяся целиком внутри гораздо меньшей сферы. В этом процессе (напоминающем изготовление пиццы) на каждом шагу приходится делать огромное количество произвольных, т.е. свободных, выборов. Надо выбрать форму и размеры всех складок и морщин, будучи ограниченными только тем, чтобы не слишком сильно растянуть поверхность. Они с этими выборами справились, и читать их статью – огромное удовольствие.
Другой пример – это изометрическое вложение в пространство плоского двумерного тора, то есть квадрата с отождествленными противоположными сторонами. Этот пример, по существу, делается так же, как предыдущий, но он хорош тем, что допускает красивую визуализацию (рис. 4) . Здесь видны три первых семейства складок быстро убывающего масштаба. Заметим, что полученная поверхность, изометричная плоскому тору, не особо гладкая. Хотя она, как обещалось, имеет в каждой точке касательную плоскость, эта плоскость меняется от точки к точке очень быстро и хаотически. Так что для такой поверхности невозможно определить кривизну. Это, если подумать, плата за свободу.
Рис. 4. Изометрическое вложение плоского двумерного тора в трехмерное пространство.
6. Однако я должен с болью в душе признаться, что для наблюдателя, не знакомого с проблемой изометрического вложения, поверхность, изображенная на рис. 4, по существу, ничем не лучше, чем график функции Вейерштрасса (рис. 1). Та свобода, о которой я столько написал, существует для создателя поверхности, который наслаждается ей при выборе своих бесчисленных складок. А наивный зритель видит снова эти беспощадные, бесконечные извивы и изгибы, созданные чьей-то чужой, непреклонной волей. Ибо реализованная свобода немедленно застывает в виде непреклонной, неотменимой воли. Так что выхода из этой ловушки нет, мы остаемся с теми же стихиями: либо с безграничной (чужой) волей, либо со слепой случайностью.
7. Однако истинная свобода все-таки существует, но она не может существовать отдельно от человека-художника. Он и держит замысел, и принимает бесчисленные, свободные и стесненные ограничениями, решения. У зрителя (т.е. у нас с Вами) появляется ощущение невероятной свободы. Можно ли его как-то объяснить? Все предыдущие рассуждения здесь не помогают; мы уже убедились, что они приводят нас либо в Царство Снежной Королевы (т.е. во власть чужой, нечеловеческой воли), либо в отвратительное Царство Слепого Червя (т.е. в область бесформенного хаоса). Как же попасть нам в Царство Свободы? Я не знаю; каждый раз, когда это случается, это выглядит чудом. Вот, например, такое чудо:
Рис.5. Анри Матисс. Женщина с распущенными волосами («Женский портрет»). 1944. Бумага, перо, тушь.
Здесь мне нечего сказать, и поэтому я умолкаю.
alexander.shnirelman@concordia.ca
Настоящим я разрешаю Михаилу Аркадьеву использование моей работы «Красота и уродство математических образов» для цитирования, анализа, частичного и полного воспроизведения без ограничений, с указанием авторства. Также я подтверждаю, что рисунки сделаны мной и находятся в моем архиве, либо взяты из интернета, являются общественным достоянием, и имеют лицензию на свободное воспроизведение для некоммерческих целей. Моя статья имеет научно-образовательный характер и не имеет коммерческих целей. Профессор Александр Шнирельман Университет Конкордия, Монреаль, Канада. Professor Alexander Shnirelman Department of Mathematics and Statistics Concordia University Montreal, Quebec, Canada