Что же такое математика? Попробуем еще раз дать ответ, постепенно его разворачивая.
Мы говорили, что она сверхчеловечна (ее истины не зависят от нашей биологии и психологии), сверхприродна (ее аксиомы и теоремы нечувствительны к специфике законов природы), что она содержит необходимые и небанальные истины, она о бесконечном, и притом абсолютно точна, она позволяет строить сколь угодно длинные цепи умозаключений без потери точности. Она о числах, фигурах и их умозрительных расширениях, как, например, комплексные числа, вектора многомерных, бесконечномерных пространств, неевклидовы геометрии. Она есть поиск узоров идей такого рода, ее вдохновляет особая эстетика, побуждая к поиску и созерцанию особой умозрительной красоты. Она движется путем доказательств, не терпит противоречий, но наталкиваясь на них, ищет путей их разрешения и нередко находит их в своих новациях.
В своих доказательствах, математика отталкивается от самоочевидностей, но ее великие новации связаны с открытиями иллюзорности неизбежности некоторых самоочевидностей. То, что ранее казалось частью вечной стены, абсолютным очевиднейшим запретом, оказывается дверью в новое пространство, к новым математическим сущностям, к переосмыслению и обогащению прежних знаний.
Математика рассматривает свой предмет как независящий от ее способов описания и языкового выражения, которые должны быть адекватны предмету. Один и тот же объект можно описывать разными способами: аксиомы и дефиниции, с одной стороны, и теоремы, с другой, нередко можно менять местами. Математические теории подобны дворцам, в которые можно входить с разных сторон и через разные двери.
Иногда говорят что «математика есть язык», забывая спросить, о чем этот язык. А он о неких безусловных умопостигаемых сущностях. «Множество простых чисел бесконечно», «корень из двух невыразим отношением целых чисел», и им подобные утверждения — не условности, но утверждения о независящей от нас умозрительной реальности. Эта реальность — не предмет, о котором можно договориться сегодня так, а завтра иначе. Это предмет, который мы исследуем, каков он есть сам по себе, безотносительно ко всем нашим условностям, желаниям и привычкам. Разве в иных мирах, сколь угодно отличных от нашего, множество простых чисел может быть конечным или корень из двух в точности выразиться отношением целых чисел? Разве не очевидно, что способность считать и воображать идеальные фигуры присуща мышлению как таковому, что без того оно немыслимо? Но это и означает, что математика есть универсальное мышление, безотносительно к его реализации. Представим, что нам нужно установить контакт с разумными существами иных миров, посылая им, скажем, световые сигналы в виде точек и тире. С чего мы начнем? Не вижу лучшего варианта, чем периодически посылать им достаточно длинную последовательность знаков числа пи в двоичном коде. Те разумные существа, что не установили еще выдающейся математической роли числа пи или не открыли двоичной записи чисел, не построят и адекватный детектор для улавливания нашего сигнала. Но это и означает, что математика принадлежит ядру развитого рационального мышления, в том числе и о природе.
Иногда математические объекты характеризуют как лишь абстракции конкретной материальной реальности: число 5 как абстракцию 5 яблок, 5 лет, 5 звезд, итд. Нетрудно показать неадекватность такой наивной характеристики математики. Отталкиваясь от первичных опытных абстракций числа и фигуры, математическое мышление затем отрывается от опыта, развиваясь уже преимущественно из себя самого. Ни из какой материальной реальности не были абстрагированы такие объекты как комплексные числа, спиноры, вектора бесконечномерного пространства, итд. То, что мы называем абстракциями эмпирического, или опытного, познания, содержат лишь те качества, что туда заложены при абстрагировании, и никакое размышление без новых наблюдений не откроет в них новых, дотоле неизвестных, свойств и отношений. Нет и не может быть теорем об абстрактных крокодилах, например, раскрывающих их с дотоле неизвестной стороны, как это возможно для чисел, фигур, и иных математических объектов. Без новых наблюдений крокодилов, нового знания о них не получишь, думай хоть тысячу лет. О звездах, в отличие от крокодилов, можно получить новое знание путем чистых размышлений. Но это можно лишь потому, что законы физики, которым подчинены звезды, математичны. Физика позволяет формулировать вопросы о звездах как математические проблемы, решать их методами математики, и далее делать заключения о звездах. Здесь мы сталкиваемся с одной из тайн вселенной, чудом ее математической познаваемости. Вся современная физика есть выражение этого чуда — а вот про биологию этого не скажешь; биология остается такой же эмпирической наукой, какой она была при Аристотеле, хотя и с гигантским приростом знаний.
Математическое же доказательство не только не обращается к наблюдениям над материальной реальностью, но напротив, предельно от того изолируется. Верна ли Великая Теорема Ферма — было неизвестно более 3х веков, несмотря на усилия лучших математиков разных эпох, пока наконец она не была доказана Эндрю Уайлсом в 1995 г. — и никакое обращение к материальной реальности в том доказательстве роли не играло. Так что, математические объекты кардинально отличаются от абстракций материального мира. Они имеют иную природу, они исследуются во взаимосвязи друг с другом и в отстраненности от материального мира — в полную противоположность эмпирическим абстракциям.
Книга природы написана на языке математики, говорил отец матфизики Галилей. На сегодня можно сказать, что это справедливо в отношении значительной части природы, но не всей. В отличие от физики, наше биологическое знание не очень математично. А с другой стороны, и математика не сводится к языку «книги природы», она имеет свои собственные миры исследования, которые иногда чудесным образом оказываются вдруг полезны физике. Слово «чудесным» — не случайно и не преувеличение. Об этом мы будем говорить в другой раз.