Понятие множества, лежащее в фундаменте всей математики, чрезвычайно привлекательно с точки зрения его использования в начальной школе. Почему? Потому, что позволяет сформировать и «пришпилить к бумаге» важные характеристики, общие для, казалось бы, совершенно разных задач, доступных детям. При этом речь идет, конечно же, о так называемой «наивной» теории множеств, в которой не обсуждаются глубокие и серьезные парадоксы, бросающие вызов здравому смыслу. (Парадокс, связанный с понятием множества всех множеств, парадокс кучи и др.) Для преодоления упомянутых парадоксов была создана аксиоматическая теория множеств, которой мы касаться вообще не будем.
Несмотря на наличие не преодоленных противоречий, именно наивная теория множеств – инструмент, которым пользуются математики, работающие в прикладных областях. Если уж таким специалистам подходит для работы наивная теория множеств (несмотря на ее скрытые дефекты), то, наверно, и для школьной математики эти дефекты не будут опасны? Ниже мы столкнемся с неожиданным поворотом темы, связанной с парадоксами – именно на школьном уровне.
Вначале – о привлекательности наивной теории множеств для маленьких детей. Пусть даны следующие две задачи (для первоклассников).
В задаче №1 к трем утятам приплыли два гусенка, и требуется найти общее количество птичек, а в задаче №2 к семи слонятам прибежали три мышонка, и требуется найти общее количество зверят. Техника наивной теории множеств (диаграммы Эйлера) позволяет фактически изобразить суть обеих задач на картинках одного и того же типа (см. рис.1). (Если обойтись без подробностей, т.е. не изображать элементы множеств, то достаточно было бы одной картинки, общей для обеих задач.)
Эта картинка адекватно изображает таинственный и непостижимый процесс обобщения, наверняка происходящий в подсознании ребенка, когда он внезапно догадывается, что обе задачи, в сущности, об одном и том же…
Аналогичным образом к единой диаграмме приводятся следующие две, казалось бы, разные задачи. В задаче №3 на ветке сидели 7 синих птиц и 6 воробьев, причем общее количество птиц на ветке равнялось 8. Требуется узнать количество синих воробьев на ветке. А в задаче №4 из зоопарка сбежали 9 розовых животных и 8 обезьян, причем всего сбежало из зоопарка 10 животных. Требуется узнать, сколько розовых обезьян сбежало из зоопарка. На рис. 2 изображены диаграммы Эйлера, пригодные для решения задач №3 и №4. Если не изображать элементы соответствующих множеств, то, очевидно, что для обеих задач хватило бы одной диаграммы. И смысл такой диаграммы прекрасно усваивался бы детьми, поскольку она (судя по всему) - отличное подкрепление процесса обобщения, протекающего у ребенка при решении задач №3 и №4.
Итак, может показаться, что, чем раньше мы введем понятие множества в школьную математику, тем будет лучше. Именно потому, что техника диаграмм Эйлера представляет собой легкий и понятный язык, который к тому же нравится детям.
И здесь нас подстерегают две неожиданности. Во-первых, оказывается, что понятие множества – не самое глубокое в математике… Вот как это обнаруживается.
В одном из учебников для начальной школы говорится:
«Множества {малина, клубника) и {клубника, малина} равны».
Тем самым детям дают понять, что порядок элементов во множестве неважен.
Попробуем теперь задать ученикам, познакомившимся с этим определением, следующий вопрос.
- Я зажал в левой руке монету достоинством в 1 рубль и в правой руке - монету достоинством в 1 рубль. Равны ли множества монет, зажатых в моих руках?
Многократно проверено, что дети дают ответ: «Да, равны!» Ответ этот, очевидно, неправильный. (О возникающей здесь интереснейшей проблеме автор узнал от проф. А. Л. Чекина).
Вот мы и подобрались к понятиям, еще более глубоким, чем понятие множества.
Эти понятия – «такой же» и «тот же самый».
Попытаемся теперь решить возникающую проблему:
А) объяснить детям на страницах учебника (при помощи иллюстраций), что два множества равны, если они совпадают, т.е. состоят из одних и тех же элементов (а не просто из «таких же точно»!);
Б) показать при помощи все тех же иллюстраций, что порядок элементов в множестве не имеет никакого значения.
Важно понимать, что огромную роль для формирования правильного восприятия понятия «множество» у детей играют именно иллюстрации, одних только слов в тексте учебника недостаточно. На мой взгляд, жалобы педагогов на то, что «дети не понимают, что такое множество» имеют в качестве причины не непонятливость детей, а двусмысленность определений, обычно даваемых в учебниках.
К счастью, упомянутая выше проблема решаема. Итак, на рис. 3 изображен человек, настенные часы и две фабричные банки варенья, стоящие на полке. Слева – малиновое варенье, справа – клубничное. Ниже, на рис. 4, изображен все тот же самый (а не такой же!) человек, протянувший руку к банкам с вареньем. Видно, что теперь банки стоят в другом порядке: слева – клубничное варенье, справа – малиновое. Кроме того, на рис. 4 видно, что минутная стрелка сдвинулась (допустим, на 5 минут). Все это не оставляет сомнений в том, что на рис. 4 изображены те же самые банки, что и на рис. 3 (а не просто такие же!).
Дальше уже можно перейти к словесному комментарию: «Множества банок с вареньем на рис. 3 и на рис. 4 равны.» Эти множества можно обозначить, например, буквами P и Q и записать равенство: P = Q.
Заодно становится понятно, зачем иногда дают одному и тому же множеству два разных имени (а иногда даже больше имен). Этот вопрос часто остается невысказанным детьми, но подспудно он их наверняка тревожит. Картинки типа рис. 3 и рис.4 дают на этот вопрос ясный и убедительный ответ:
«Одно и то же множество может быть получено разными способами, например, двумя. Заранее может быть неизвестно, что оба раза получается одно и то же множество. Поэтому и требуются два разных имени; ставя знак равенства между этими именами, мы и утверждаем, что получили одно и то же множество.»
После такой предварительной подготовки ребенок (да и взрослый тоже) уже не скажет, что на рис. 5 множества банок на верхней и нижней полке равны между собой.
* * *
Итак, мы почти разобрались с Первым школьным парадоксом наивной теории множеств. Заодно обнаружилось, что понятие «жизнь» (живой персонаж) может оказаться полезным при изложении школьных основ наивной теории множеств.
Осталось сказать еще несколько слов о конфликте логики и педагогики, возникающем как раз в связи с затронутой темой. Казалось бы, если равенство множеств – это их совпадение, а не их одинаковость, то надо срочно кое-что менять в геометрии. Действительно, каждый треугольник – это множество точек на плоскости. И если мы хотим сказать, что два треугольника совершенно одинаковы, то говорить, что треугольники равны – нехорошо. В 70-е годы прошлого столетия группа математиков под руководством крупнейшего ученого, акад. А. Н. Колмогорова провела реформу школьных учебников по математике, целью реформы была бόльшая строгость изложения. При этом применявшийся до реформы термин «равенство треугольников» был заменен на «конгруэнтность треугольников». Изложение стало более корректным, но школьники перестали понимать геометрию. Не все, конечно, но довольно-таки многие. В результате пришлось вернуться к «равенству треугольников» ...
Список литературы
[1] Локшин А.А. Мешки, множества и математика для детей. – М.: МАКС Пресс, 2015. – 44 с.