Александр Леньков родился 17 мая 1943 года в Тамбовской области, где провел детство и юность. В 22 года он окончил студию при театре Моссовета, после чего его приняли в труппу театра, в котором он служил без малого 50 лет. Среди его ролей на сцене — Василий Теркин в одноименной пьесе, Дорн в «Чайке», мадам Плюш в спектакле «Любовью не шутят».

Широкую известность актер получил в 1964 году после дебюта в кино — он снялся в фильме «Ключи от неба». Спустя год вышла лента «Дайте жалобную книгу», в которой сыграл актер. За свою жизнь Леньков снялся в почти ста кинокартинах, например, в «Зимней вишне», «Маленькой Вере», «Сибирском цирюльнике». Также артист отметился в ряде популярных сериалов — «Марш Турецкого», «Бригада», «Интерны».

Александр Леньков занимался дублированием фильмов, озвучиванием анимационных лент и компьютерных игр (например, «Готика» и World of Warcraft). Кроме того, он работал на телевидении: голосом Ленькова говорил Степан Капуска в передаче «Тушите свет!», который комментировал последние новости вместе с Хрюном Моржовым. В 2001 году программа получила премию ТЭФИ. В начале нулевых годов Леньков озвучил гнома Буквоежку в «Спокойной ночи, малыши».