Итак, Первый парадокс получил свое разрешение
(см. [1]), которое желательно внести в соответствующие учебники.
Но на этом школьные затруднения с множествами не заканчиваются. Ученику говорят, что:
Одним из способов задания множества является перечисление его элементов в фигурных скобках.
Например, если множество А состоит из элементов a, b, c, то пишут: А = {a, b, c}. Тот факт, что порядок элементов несуществен при задании множества, иллюстрируют, например, такой записью:
{a, b, c} = {a, c, b} = {c, b, a} = … (*)
И мы тут же сталкиваемся с парадоксом (Вторым). Действительно, с одной стороны, нам говорят, что:
Два множества равны, если они совпадают, т.е. состоят из одних и тех же элементов (а не просто элементы одного множества внешне неотличимы от элементов другого множества).
Но буквы «а», стоящие в фигурных скобках в (*), именно что внешне неотличимы друг от друга, но при этом все-таки разные – каждая из этих букв состоит из своих, особенных частиц типографской краски (своих пикселей). Иными словами, запись (*) сразу же вступает в противоречие с основным требованием к равенству множеств.
Об этом противоречии учебники молчат (из педагогических соображений). Но есть ли вообще выход из сложившейся неприятной ситуации? Выход есть, и учителю (а также родителям учеников) он должен быть известен. Нужно ли сообщать ученикам об этом выходе (разрешении Второго парадокса) – большой вопрос.
Итак, чтобы избежать возникающего противоречия, достаточно сказать, что:
В фигурных скобках перечисляются не сами элементы множеств, а имена этих элементов.
Что касается самих элементов, что они, условно говоря, «живут где-то на облаке» и оттуда в фигурные скобки никогда не спускаются… (см. рис.1).
Итак, обнаруженный парадокс, вроде бы, удалось легко разрешить. Равенства (*) перестают быть внутренне противоречивыми - в фигурных скобках перечисляются не сами элементы, а их имена. Это соглашение позволяет, в частности, игнорировать повторяющиеся имена при перечислении внутри фигурных скобок. Например, мы вправе считать, что
{a, a, a, b, b, c, c, c, c} = {a, b, c}
(поскольку в конечном итоге нас интересуют именно сами элементы множества, а не то, сколько раз были названы их имена).
Но на этом проблемы, связанные с заданием множеств с помощью перечисления, не заканчиваются. Тут же возникают новые вопросы. Например, предлагается выяснить, справедливы ли равенства:
{2, 4, 10} = {II, IV, X},
{3, 6, 7} = {5-2, 3*2, 11-4},
{8, 9, 13} = {8, 9, 13}.
Каковы правильные ответы на поставленные вопросы о равенстве множеств – зависит уже не от каких-то общих научных принципов, а от принятых рабочих соглашений. Я бы, например, считал, что все три перечисленные равенства верны. Но здесь авторам учебников и задачников следует как-то договориться между собой, чтобы не допускать разнобоя в ответах.
Похоже, что детям все-таки стоит объяснять, как разрешается Второй парадокс – такое объяснение будет (как я полагаю) способствовать развитию критического мышления.
[1] Локшин А.А. Первый парадокс школьной теории множеств// Педагогические технологии, 2024, №1, с.75-80.
[2] Локшин А.А. Мешки, множества и математика для детей. – М.: МАКС Пресс, 2015. – 44 с.